Politopo convexo a partir del cubo

Question

El cubo n-dimensional puede entenderse como el casco convexo de los puntos en $\mathbb{R}^n$ tales que cada una de sus n entradas es 0 ó 1. ¿Qué queda cuando se toma el casco convexo de los puntos en $\mathbb{R}^n$ tales que cada una de sus entradas e 0 ó 1 y la suma de las entradas es par? ¿Cómo son las facetas (caras de codimensión 1)? Si n=2, la respuesta es un segmento de recta (es degenerado); si n=3 es el tetraedro regular y sus facetas son triángulos.

Answer 1

Estos poliedros se llaman demihipercubos [1]. El que sigue del tetraedro también es regular, es la 16-celda [2]. A partir de ahí ya no son regulares, pero siempre son uniformes, lo cual significa (como probablemente ya sabes, pero yo no sabía) que (a) todas sus caras son uniformes y (b) el grupo de automorfismos actúa transitivamente sobre los vértices. Todas las caras de los demihipercubos son o bien simplejos o bien demihipercubos de dimensión menor. El teorema 2.3.6 de [3] dice en cada dimensión cuantas caras de cada tipo tiene un demihipercubo.

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Demihypercube

[2] http://en.wikipedia.org/wiki/16-cell

[3] R.M. Green, Homology representations arising from the half cube, http://arxiv.org/abs/0806.1503

Comments

Muchas gracias por la respuesta.

Desafortunadamente el término "uniforme" no es universalmente aceptado. Investigadores reconocidos del área, como Stephen Wilson de la Universidad de North Arizona, incluso usan ese término para denotar a los poliedros/mapas cuyas caras tienen todas el mismo número de lados, y cuyos vértices están en el mismo número de aristas (la generalización de ese concepto no incluiría a los demihipercubos de dimensiones 5 en adelante). Claramente no coincide con la definición que das, y que muchos aceptamos. Detesto cuando el nombre de las cosas crea barreras entre los matemáticos, y este es un caso de ello.