Envolvente convexa de cerrados.

Question

¿Alguien puede darme ejemplos de subconjuntos cerrados en R2 cuya envolvente convexa no es cerrada?

Answer 1

Considera el siguiente subconjunto de $\mathbb{R}^{2}$: $((-\infty, -1] \times \{0\}) \cup V \cup ([1,\infty) \times \{0\})$ donde $V = \{(t, 1-|t|): t \in [-1,1]\}$. Este conjunto es un subconjunto cerrado de $\mathbb{R}^{2}$ en la topología usual y su envoltura convexa es $((-\infty, \infty) \times [0,1)) \cup \{(0,1)\}$.

Comments

¡Es un ejemplo bonito! Como que los segmentos se acercan a algunos puntos que los puntos del conjunto no, entonces justo salva la situación. Me parece que la envolvente convexa también tiene al punto $(0,1)$.

---

Tienes razón, Leo...

---

Un ejemplo ligeramente más simple con la misma envoltura convexa es $\left(\mathbb{R} \times \{0\}\right) \cup \{(0,1)\}$.