La idea es la siguiente: si $x=\sum_{n=1}^\infty \alpha_ne_n$, entonces $x$ está cerquita de las sumas finitas
$\sum _{i=1}^n \alpha_i e_i$, las cuales se aproximan fácilmente por otras sumas finitas con coeficientes racionales. Para ser más formales, sea $E=\mathbb Q$ si estamos considerando a $\mathbb R$ como el campo de escalares, o bien $E=\mathbb Q\times\mathbb Q$ si consideramos que es $\mathbb C$ el conjunto de escalares. El punto es que $E$ es un subconjunto denso y numerable del campo de escalares de nuestro espacio $X$, con $0\in E$. Ahora sea $\{e_n\big|n\in\mathbb N\}$ una base de Schauder para $X$. Notemos primero que, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $|e_n|=1$ para cada $n\in\mathbb N$, pues cada $x\in X$ puede escribirse como $x=\sum_{n=1}^\infty\alpha_n e_n=\sum_{i=1}^\infty(\alpha_n|e_n|)\frac{e_n}{|e_n|}$. Ahora, afirmamos que el conjunto
$D=\{\sum_{i=1}^n q_ie_i\big|n\in\mathbb N\mathrm{\ y\ }(\forall i\leq n)(q_i\in E)\}$
es denso en $X$. Nótese que $D$ es un subconjunto numerable de $X$, dado que
$D=\bigcup_{n\in\mathbb N}\{\sum_{i=1}^n a_ie_i\big|(a_1,\ldots,a_n)\in E^n\}$
es una unión numerable de conjuntos numerables. Ahora bien, dado $x\in X$ y $\varepsilon>0$, se trata de encontrar un $y\in D$ tal que $|x-y|<\varepsilon$. Sea $x=\sum_{n=1}^\infty\alpha_ne_n$, y agarremos $n\in\mathbb N$ tal que $|x-x_n|<\frac{\varepsilon}{2}$, en donde $x_n=\sum_{i=1}^n\alpha_ie_i$ denota a la $n$-ésima suma parcial. Ahora, para cada $1\leq i\leq n$, agárrese $q_i\in E$ tal que $|\alpha_i-q_i|<\frac{\varepsilon}{2n}$, y tomemos $y=\sum_{i=1}^n q_ie_i\in D$. Entonces, tendremos que:
\begin{eqnarray*}
|x-y| & \leq & |x-x_n|+|x_n-y|<\frac{\varepsilon}{2}+\left|\sum_{i=1}^n (\alpha_i-q_i)e_i\right| \\
& \leq & \frac{\varepsilon}{2}+\sum_{i=1}^n|\alpha_i-q_i|<\frac{\varepsilon}{2}+n\frac{\varepsilon}{2n}=\varepsilon
\end{eqnarray*}
y ya la armamos (cuadrito).
