Halla el mayor número posible de problemas difíciles para la olimpiada..

Question

➜ Resuelve el enigma, comenta tu PROCEDIMIENTO, y responde:
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“En una olimpiada matemática cuyo examen tuvo 8 preguntas, se dijo que un participante es 'hábil', si éste resolvió correctamente más de la mitad de los problemas.

También se dijo que un problema es 'difícil', si éste fue resuelto correctamente por menos de la mitad de los participantes 'hábiles'.

Si la olimpiada tuvo al menos un participante hábil, encuentra el mayor número posible de problemas difíciles que pudo tener la olimpiada.”

Comments

A ver, amigos..¿quién dijo "yo"? 

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Si accidentalmente pones un comentario como "Respuesta", puedes editar la respuesta y seleccionar la opción de convertirla a comentario.

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Gracias, Omar. En este caso fue un ligero "descuido", más que "accidente", no tuve presente la diferencia entre "comentario" y "respuesta". Acabo de hacer un par de conversiones.

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¿Un estudiante es hábil si resolvió correctamente al menos 5 problemas? Pregunto porque en un concurso típico puedes ganar puntos en un problema que no resuelves completamente y entonces resolver correctamente "más de 4" podría querer decir resolver completamente 4 problemas y (correctamente) una porción de otro más. (Y la respuesta al problema de hecho cambia dependiendo de esto, ¿no?)

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Sí, Omar: En el caso presente, los puntajes se dan por cada problema; se asume que es "todo o nada", sin "puntajes parciales".

Answer 1

Puede haber hasta 5 problemas difíciles. Primero, veamos que 5 es posible:

Configuración con 5 problemas difíciles.

	1	2	3	4	5	6	7	8
A	x	x	x	x				x
B	x	x	x	x	x
C	x	x	x		x	x
D	x	x	x			x	x
E	x	x	x				x	x

Esta tabla muestra un posible resultado del concurso con 5 alumnos hábiles (cada uno resolvió 5 problemas), donde los porblemas del 4 al 8 son difíciles (cada uno fue resuelto por dos concursantes).

Ahora probemos que no puede haber más de 5 problemas difíciles. Sea $a_i$ el número de concursantes hábiles que resolvió correctamente el problema número $i$. Como cada concursante hábil resuelve al menos 5 problemas, tenemos que $a_1+a_2+\cdots+a_8 \ge 5h$, donde $h$ es el número de estudiantes hábiles. Como $a_i \le h$, la suma de cualesquiera 2 de los $a_i$ es a lo más $2h$, de donde vemos que la suma de cualesquiera 6 de las $a_i$ es al menos $5h-2h = 3h$. Pero entonces no puede haber 6 problemas cada uno resuelto por menos de $h/2$ concursantes.

Comments

¡Excelente! Genial la diagramación del caso-ejemplo, la lógica y el álgebra sencilla, pero contundente. Gracias, Dr. Omar.

* Efectivamente, el máximo número de problemas difíciles que pudo tener la olimpiada, es de 5. Luego les compartimos más ilustraciones.

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Gracias por tus palabras de aliento, Michel Anthony. Por favor no me digas Dr., que no lo soy (aún) ---y cuando lo sea, no seré del tipo de doctor que disfruta de que así le digan. :)

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Ok, Omar. pero, por su nivel, su orden-rigor y su humildad, será Ud. un buen doctor en matemáticas..de ello, no tengo dudas. Agradezco mucho que siga aportando, y dejándonos aprender de sus compartires..así como agradezco los de todos,