Encuentra la expresión del término que sigue (7º) de la sucesión binaria.

Question

Reto "digital".- Halla el 7º término de la siguiente sucesión:
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[1]; [1]; [0.1]; [0.01...]; [0.0011...]; [0.001]; [______]; . . .(continúa). . .➜

Answer 1

Considere la sucesión de Fibonacci $\{F_n\}$, la cuál es definida como $F_1=1$, $F_2=1$ y $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$. Sus primeros términos son $\{1,1,2,3,5,8,13,...\}$.

Ahora considere la sucesión $\{\frac{1}{F_n}\}$ cuyos primeros términos son $\{1,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{8},\frac{1}{13},...\}$ la cual la podemos escribir en decimales: $\{1,1,0.5,0.\overline{3},0.2,0.125,0.\overline{076923},...\}$ donde la barra significa periodicidad. Dicha sucesión en el sistema binario es: $\{1,1,0.1,0.\overline{01},0.\overline{0011},0.001,0.\overline{000100111011},...\}$. En otras palabras, el séptimo término es el recíproco de $F_7$ en binario.

Comments

¡Muy bien, Chris! Excelente, y gracias por la ilustración para todos.

[Por nosotros, está todo muy claro. Si alguno, quizá estudiante, tuviera alguna duda en cuanto al significado de las expresiones "2-avales" (periódicas, en el sistema binario), comente, por favor.]

Answer 2

Si en la notación los puntos suspensivos significan que la sucesión termina con una cola infinita de 1´s, entonces el septimo termino es [0.00011...]. Según entiendo la sucesión corresponde a los racionales diadicos y sus dos representaciones binarias.

Comments

Gracias por participar, Rafa.

Vale su observación; especifiquemos: Como en otro reto se indicó, aquí también, para cada término entre [ ] los "puntos suspensivos" indican "periodicidad pura".

Por ejemplo: 0.0011... = 0.00110011001100110011001100110011...,

en que la parte "no-entera" repite 'infinitamente' el grupo "0011".