Antes de responder la pregunta hacemos notar unas observaciones:
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La expresión $x^{x^{x^{.^{.^{.}}}}}$ se denomina tetración, la cual es una operación iterada de la exponenciación, ver http://es.wikipedia.org/wiki/Tetraci%C3%B 3n.
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La tetración no es una operación asociativa así que debe entenderse como x^(x^(x^...)).
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La $n$-ésima iteración de la exponenciación de $x$ se denota como $^{n}x$ y se define como: $1$ si $n=0$ y $x^{[^{n-1}x]}$ si $n>0$.
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Esta pregunta tiene una relación estrecha con la planteada en el siguiente link: http://irracional.org/index.php/67/cuando-pasa-que-%24a-b-b-a%24-para-%24a-b%24.
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Como $4^{\frac{1}{4}}=4^{\frac{1}{2}\frac{1}{2}}=(4^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$ entonces claramente $A=C$.
Ahora bien, vamos a definir la sucesión $S=\{ ^{n}x \}$ para $x=a^{\frac{1}{a}}$ con $a\geq3$.
Afirmación 1. $S$ es creciente.
Prueba. Por inducción sobre $n$. Como $a\geq3$, entonces $0\leq \frac{1}{a}\ln{a}$, luego $1\leq x$ y por tanto $^{0}x \leq {^{1}x}$. Supongamos que $^{n-1}x\leq{^{n}x}$. Como $0\leq\ln{x}$ tenemos que $^{n-1}x\ln{x}\leq{^{n}x\ln{x}}$, así se deduce que $\ln{x^{[^{n-1}x]}}\leq\ln{x^{[^{n}x]}}$ y por lo tanto $^{n}x\leq{^{n+1}x}$. qed.
Afirmación 2. $S$ es acotada.
Prueba. Por inducción sobre $n$. Como $a\geq3$, entonces $\ln{a}\leq a$, luego $ \ln{a^{\frac{1}{a}}}\leq 1$ y por tanto $x \leq e $. Supongamos que $^{n-1}x \leq e$. Como observamos en http://irracional.org/index.php/67/cuando-pasa-que-%24a-b-b-a%24-para-%24a-b%24, la función $f(y)=\frac{y}{\ln{y}}$ tiene un mínimo en $e$, entonces $e\leq \frac{a}{\ln{a}}=\frac{1}{\frac{1}{a}\ln{a}}=\frac{1}{\ln{x}}$, así $^{n-1}x \leq e \leq \frac{1}{\ln{x}}$, por tanto $^{n-1}x \ln{x} \leq 1$ y finalmente $x^{^{n-1}x}\leq e$. qed.
Como $S$ es creciente y acotada se concluye que converge.
Como $f(y)=\frac{y}{\ln{y}}$ tiene un mínimo en $e$, es creciente para $y\geq 3$, luego, si $3 \leq b \leq c$ tenemos que $\frac{b}{\ln{b}}\leq \frac{c}{\ln{c}}$, entonces $c^b \leq b^c$ y tenemos que $c^{\frac{1}{c}}\leq b^{\frac{1}{b}}$, por tanto si $x_b=b^{\frac{1}{b}}$ y $x_c=c^{\frac{1}{c}}$ se concluye que $^{n}x_c \leq{^{n}x_b}$. Por tal razón $C\leq B$.
También puedes ver http://luckytoilet.wordpress.com/2010/03/13/notes-on-infinite-tetration/.
