A=1/2-1/4+1/8-1/16+...

Question

Un torito muy sencillo pero agradable:

¿Cuánto vale la sumatoria A?

(me recordó mis clases de cálculo)

Answer 1

$\displaystyle A = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \left(-\frac{1}{2}\right)^{k} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}.$

Comments

Si, es correcto. Veamos una prueba de James O. Chilaka:
A=B=C
A+B+C=1
por lo tanto A=1/3.

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Es buena también pero requiere de más hechos, como que en las series absolutamente convergentes puedes reordenar los términos e insertar paréntesis a voluntad sin alterar la suma de la serie y así...

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Es un buen tema de discusión saber cuando es relevante la convergencia (y el tipo de convegencia) y cuando no. En Análisis Combinatorio era nuestro mayor conflicto. Saludos.

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:D Es una pena que los comentarios no se puedan "votar" también. Saludos para allá también, Chris.

Answer 2

A=1/2-1/4+1/8-1/16+...

Multiplicamos la expresión por "2" (miembro a miembro):

2⋅A = 2⋅(1/2-1/4+1/8-1/16+1/32-1/64+...) = 1-1/2+1/4-1/8+1/16-1/32+...

2⋅A = 1 – (1/2-1/4+1/8-1/16+...) = 1– A

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∴ 2A = 1 – A ⇒ 3A = 1 ⇒ A = 1/3 

Comments

Por supuesto, dicha resolución "asume" la convergencia de la sumatoria...