¿Es el CERO un número natural? ¿Debería ó no adoptarse una convención universal al respecto?

Question

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➜ A través del tiempo, en los diversos países, en las diferentes instituciones (universidades, institutos de enseñanza, investigación), y en las diversas áreas de la matemática, pueden encontrarse las 2 grandes posturas respecto de la conveniencia/validez (ó no) de la pertenencia del Número CERO (0) al Conjunto de los Números Naturales (ℕ):

* Aquellas que SÍ incluyen al CERO: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

* Aquellas que NO incluyen al CERO: ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

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¿Qué opinas? ¿ 0 ∈  ℕ ? ¿Debe adoptarse como convención universal que el "0" es un número natural? ¿No debe adoptarse la convención? ¿Por qué?

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Comments

A ver, los expertos en Teoría de Conjuntos, y aficionados al tema..¿qué dicen?

Answer 1

Yo resuelvo este problema para mi de la siguiente manera. Si [;\omega;] denota el primer ordinal infinito, entonces [;\omega=\{0,1,2,\dots\};], esto por construcción. De este modo, dejo [;\mathbb{N};] para indicar el conjunto [;\omega\backslash\{0\};]. Esto me ayuda a tener claro qué elementos hay en [;\mathbb{N};]. Sin embargo, a [;\omega;] se le conoce como el conjunto de numeros naturales, según conjuntistas que conozco. Creo que esto es cuestión de gustos y de cómo se te acomode trabajar.

Saludos

Comments

Gracias por el aporte, Enrique; tu enfoque va hacia los códigos de programación, me parece. Bueno, ok.

Esperamos algún fundamento aritmético, de la teoría "conjuntista", etc., que avale alguna de las posturas. ¿Más opiniones?

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La necesidad de construir un conjunto numérico "más grande" que los naturales puede ser por la falta de propiedades algebraicas de este conjunto, como la falta de elemento neutro (en caso de no considerarlo parte de). Además, en la escritura cotidiana como $\sum_{n\in\mathbb{N}}\tfrac{1}{n}$ es conveniente no incluir al cero ya que de lo contrario tendríamos que escribir la fracción trasladando el denominador, que no es muy habitual. Por otro lado, la inclusión del cero en un conjunto importante como el de los números naturales también puede tener validez como en la construcción del primer ordinal infinito ya que el cero inicia la construcción de todo número finito: $0=\emptyset$ y se define recursivamente $n=(n-1)\cup\{n-1\}$. Otra cosa situación que he experimentado es la indexación en $\omega$, es decir, los naturales incluyendo al cero, como en la serie geométrica $\sum_{n\in\omega}r^{n}$ para $0<r<1$. Por eso yo comentaba que separaba los conjuntos $\mathbb{N}$ y $\omega$, pues los dos me ayudan a simplificar notación; al primer conjunto lo refiero como "los números naturales" y al segundo como "el primer ordinal infinito" para el cual no utilizo la estructura algebraica de monoide. Otra razón que encuentro para utilizar estos dos conjuntos es la descripción más sencilla de los números racionales $\mathbb{Q}=\{(a,b):a\in\mathbb{Z}\wedge b\in\mathbb{N}\}$ para eludir el cero en el denominador automáticamente.
Saludos _\m/

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Interesante. Gracias, Enrique.

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Yo concuerdo totalmente con Enrique. La razón es, en principio, puramente pragmática: a veces necesitamos incluir al cero, a veces no. Si tenemos dos símbolos distintos (a saber, $\omega$ y $\mathbb N$), es cuestión de economía el aprovecharlos y darle a cada uno uno de los significados que necesitamos a menudo. Como siempre se conviene en que $\omega$ contiene al cero (ahí sí no hay controversia), entonces es "natural" decidir que $\mathbb N$ no lo contendrá. Además, se puede argumentar que el 0 no es un número tan natural, después de todo: tardó milenios en "descubrirse", y en la antigüedad eran tan sólo unas cuantas culturas avanzadas (como la maya o la hindú) quienes lo conocían. Seguro que los cavernícolas no conocían el cero (pero este argumento es débil: seguro que tampoco conocían el $10̣̣^{10^10}$ y sin embargo este último sí se considera un número natural).

Answer 2

Mi opinión:

Es muy adecuado tener en cuenta al número CERO (0) como 'natural'. Como primer sustento, obsérvese su rol como elemento neutro en la operación de adición en ℕ..es importante, y amerita suficientemente su inclusión en el Conjunto de los Números Naturales.

∀ a ∈ ℕ, ∃ 0 ∈ ℕ / a + 0 = 0 + a = a

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** Pues, al contrario, si 0 ∉ ℕ, ¿de qué elemento neutro hablaríamos? (adición en ℕ)..no puede serlo, respecto de un conjunto al cual no pertenece, por correcta definición..¿estamos de acuerdo?

Comments

No necesitas tener neutro en los naturales. A final de cuentas, la falta de propiedades importantes de este conjunto es un buen incentivo para construir una extensión de este sistema numérico, a saber, los números enteros; estos últimos si cumplen con la existencia de neutro y la existencia de inversos. Aun y cuando incluyas el cero en los naturales, sigue careciendo de inversos.
El conjunto de números naturales no se usa como un conjunto con estructura algebraica sino como un conjunto "inductivo" y para enumerar colecciones (por su puesto, que sean numerables). En álgebra no comenzamos estudiando los números naturales sino los enteros, en mi experiencia, claro esta.

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Vale la observación.