Esto se puede generalizar a los siguientes espacios: Sea $(X, \mathcal B, \mu)$ un espacio de medida Hausdorff localmente compacto, donde $\mathcal B$ es una $\sigma$-algebra que contiene a todos los subconjutnos compactos de X y $\mu$ es una medida regular.
$C_c(X)=\{f:X\to \mathbb C/ \text{ supp } f \text { es compacto}\}$
Veamos que $C_c(X)$ es denso en $L^p(X)$
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Sea $A\in \mathcal B$, y $\epsilon >0$ por la regularidad de la medida, existen $U$ abierto y $K$ compacto tales que $K\subset A\subset U$ y $\mu\left( U-K\right)<\epsilon$. Ahora el lema de Urysohn nos garantiza la existencia de una función $f\in C_{c}(X)$ tal que $0\leq f\leq 1$, $f(x)=1$ para todo $x\in K$ y $\text{ supp } f \subset U$, esto normalmente se denota por $K\prec f \prec U$. Notamos que bajo estas condiciones si $1_A$ denota la función caracterísstica de $A$ tenemos $$\| 1_A -f\|_{p}^p= \int_X |1_A -f|^p=\int_{U-k} |1_A -f|^p \leq \epsilon.$$ De lo que concluimos que $1_A$ puede ser aproximada por funciones en $C_c(X)$.
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Sea $S= \sum_{i=1}^n a_i 1_{A_i}$ una función simple, sea $\epsilon >0$, por el inciso 1 existen funciones $f_i\in C_c(X)$ tales que $\| 1_{A_i} -f_i\|_{p}<\frac{\epsilon}{n}$. Sea $f=\sum_{i=1}^n f_i$, así $f\in C_c(X)$ y $$\| S-f\|_{p}\leq\sum_{i=1}^n\| 1_{A_i} -f_i\|_{p} <\epsilon,$$ por lo tanto las funciones simples se pueden aproximar por funciones en $C_c(X)$.
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Sea $f\in L^p(X) $ y $\epsilon >0$, entonces existe una función simple $S$ tal que $$\| f -S\|_{p}<\frac{\epsilon}{2}\hspace{2cm} (1)$$ y por 2 existe $g\in C_c(X)$ tal que $$\| S-g\|_{p}<\frac{\epsilon}{2}\hspace{2cm} (2)$$ de las ecuaciones (1) y (2) concluímos que $$\| f -g\|_{p}<\epsilon$$
Con esto concluímos que $C_c(X)$ es denso en $L^p(X)$.
Saludos!!
