convergencia en espacios Lp

Question

Sean $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ espacio de medida,  $f_{n},f\geq 0$ tal que  $f_{n}\rightarrow f$  $ c.s.$ y $\lim_{n}\int_{\Omega}f_{n}=\int_{\Omega} f<\infty$. Entonces $f_{n}\rightarrow^{L_{1}} f$.

Comments

¿Qué entiendes tu por convergencia de tipo c.s?

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c.s. : converge en casi todos los puntos, excepto num conjunto de medida nula. Es decir si $A=\{x\in\Omega:f_{n}(x)\rightarrow f(x) \}$, entonces $\mu(A^{c})=(0)$.

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Olvidé algo muy importante $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ es finita.

OBS. Si $\lim_{n}\int_{\Omega}f_{n}=\int_{\Omega} f=\infty$ ja no se cumple la afirmación.
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Answer 1

Sea $(\Omega, \mathcal A, \mu)$ espacio de medida. Sea $1\leq p<infty$  y $f_n, f \in L^p$ tal que $f_n \to f$ c.s y $\|f_n\|_p \to \|f\|_p$ entonces $f_n \to f$ en $L^p$.

Sea $F=|f_n-f|^p$ y $G_n=C_p\left(|f_n|^p+|f|^p\right)$ con cierta constante $C_p$ que depende de $p$ tal que $F_n\leq G_n$. Notamos que por la convergencia en casi todo pundo de $f_n$ a $f$ tenemos que $F_n\to 0$  y $G_n \to 2C_p|f|=G$. Notamos también que $$\lim \limits_{n\to \infty}\int_{\Omega}G_n=\int_{\Omega}G=2\|f\|_{p}^p<\infty,$$ así por el teorema de convergencia dominada generalizado  concluímos que $$\lim \limits_{n\to \infty}\int_{\Omega}F_n==\int_{\Omega}\lim \limits_{n\to \infty} F_n=0,$$ lo cual es equivalente a decir que $f_n \to f$ en $L^p$.

Si consideramos $p=1$ y las funciones $f_n$ y $f$ positivas aplicando lo anterior concluímos lo que tu deseas.

No se si conozcas el teorema de convergencia dominada generalizado, por si no aquí te dejo el enunciado:

Sea $F_n$ una sucesión de funciones medibles en $\Omega $ que convergen en casi todo punto a una función $F$. Si existe una sucesión de funciones integrables $G_n$ tales que $F_n\leq G_n$ y que convergen en casi todo punto  a $G$, y además $$\lim \limits_{n\to \infty}\int_{\Omega}G_n=\int_{\Omega}G,$$ entonces$$\lim \limits_{n\to \infty}\int_{\Omega}F_n=\int_{\Omega}F.$$ 

 

Saludos.