Número escrito en bases de numeración consecutivas [cerrada]

Question

La siguiente es la expresión de un número 'N', escrito en base 'k+1' :
__________
(k-1)0(k-1)1

; al transformar 'N' a la base 'k', la suma de sus cifras se ve incrementada en 'k'.

Halla todos los posibles valores de 'k' que verifican la condición; como también, el número 'N' escrito en las bases: 'k', 'k+1' y 'DIEZ' (para cada solución!).

Comments

¿Qué significa la barra sobre (k-1)0(k-1)1?

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La barra indica que se está mostrando un 'numeral', es decir, que no se trata de "productos indicados", sino de la expresión "cifra a cifra" de un número, en una cierta base de numeración.

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¿Y el dígito de las unidades es $1$? ¿Estás seguro que $(k-1)$ va dos veces en la expansión en base $k+1$ de $N$? ¿No hay un error por ahí?

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Sí, José: la notación fue revisada, resuelta y publicada por mí, antes, en otros foros. No hay error. ¡Adelante!

Answer 1

$N$ en base $10$ es

$1+(k+1)(k-1)+(k+1)^{3}(k-1) = k^{4} + 2k^{3} + k^{2} - 2k -1.$

Vamos a pasar este número a base $k$. Supongamos que $k \geq 3$. Entonces, de

$\begin{eqnarray*} k^{4} +2k^{3} + k^{2} - 2k-1 &=& k(k^{3}+2k^{2}+k-3)+(k-1)\\

k^{3}+2k^{2}+k-3 &=& k(k^{2}+2k) + (k-3)\\

k^{2} + 2k &=& k(k+2) + (0)\\

k+2 &=& k \cdot 1 + (2)\\

1 &=& k \cdot 0 + (1)\\

\end{eqnarray*}$

se sigue que $N$ en base $k$ es

$\overline{(1)(2)(0)(k-3)(k-1)}$.

Puesto que la suma de los dígitos de $N$ se incrementa en $k$ cuando se pasa de base $k+1$ a $k$,

$1+2 + (k-3) + (k-1) = 2(k-1) + 1 + k$.

Al resolver esta ecuación se obtiene que $k=0$ y la solución tiene que desecharse pues supusimos inicialmente que $k \geq 3$.

Así, $k$ tiene que ser $2$ o $1$.

Si $k=2$ entonces $N$ en base $3$ es $1011$. En consecuencia, $N$ en base $10$ es $31$ y en base $2$ es $11111$. Como la suma de dígitos de $N$ incrementó en $2$ al pasarlo de base $3$ a base $2$, concluimos que $k=2$ es una valor que verifica las condiciones dadas.

Si $k=1$ entonces $N$ en base $2$ es $0001$. En consecuencia, $N$ en bases $10$ y $1$ es $1$. Como la suma de dígitos no sufrió el incremento mencionado al hacer el cambio de base $2$ a $1$, concluimos que $k=1$ no es un valor que cumpla las condiciones dadas.

En resumen, $k=2$ es el único número natural que satisface las condiciones dadas. Además $N$ en base $10$ es $31$, en base $3$ es $1011$ y en base $2$ es $11111$.

Comments

¡Bien, José! Solución completa.

** Solo observar que $k$ no podía tomar el valor $1$, pues no es un valor válido para base de numeración [no quedarían 'cifras' para usar]; además, porque la base de numeración no puede valer igual que la cifra $1$ del numeral;..ni debería aceptarse, tampoco, que la cifra $k-1 = 0$, vaya escrita al inicio de la representación numérica.**