Otro de Endomorfismos de espacios vectoriales.

Question

Sea $V$ espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$, con $dim(V)=n$.

Sea $G<GL(V)$ con $|G|$ finito.

Demuestre que toda $T\in{G}$ es semisimple.

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Por cierto, esto tambien es cierto para $G$ compacto.

Answer 1

Sea $g\in G$. Como $G$ es finito, existe $k>0$ tal que $g^k= id$. Consideremos ahora la forma normal de Jordan de $g$ y sea $B$ uno de sus bloques. Entonces también $B^k=id$. Pero esto no puede pasar si el bloque es de tamaño $\geq 2$ (por ejemplo es suficiente verificar que el segundo elemento del primer renglón nunca puede ser cero). Por lo tanto $g$ es diagonalizable.

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Una buena forma de hacerlo.

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Otra forma sería observando que el polinomio $P(X)=X^k-1$ es separable en $\mathbb{C}$

Answer 2

Probablemente uno podria hacer esto de una forma mas directa pero me parece interesante ver como algunas cosas vistas en un contexto mas general se ven muy claras.

Un espacio simetrico de tipo no compacto es una variedad Riemanniana homogenea de la forma $X=G/K$ donde $G$ es un grupo de Lie semisimple no compacto y $K$ es un subgrupo compacto maximal. $G$ es la componente conexa de la identidad en el grupo de isometrias de $X$ y $K$ es el estabilizador de un punto base. En nuestro ejemplo $G=SL(n,\mathbb{C})$ y $K=SU(n)$.

$X$ resulta ser un espacio de curvatura no positiva. En este tipos de espacios tenemos bien definido un centro de gravedad de un subconjunto acotado (en particular de un subconjunto finito). El centro de gravedad de $A$ es el unico $x_0\in X$ tal que $\sup_{a\in A}\{d(x_0,a)\} = \inf_{x\in X}\{\sup_{a\in A} d(x,a)\}$. Como este punto depende solo de $A$ entonces cualquier grupo de isometrias que deja invariante a $A$ debe fijar a $x_0$.

Tomando ahora $\Gamma\subset G$ un subgrupo finito y $A=\Gamma\cdot x$, vemos que $\Gamma$ fija un punto $x_0\in X$. Es decir $\Gamma\subset Stab_G(x_0) = K'$, donde $K'$ es un grupo conjugado a $K$.

En nuestro ejemplo esto quiere decir que un subgrupo finito $\Gamma$ es conjugado a un subgrupo de  $SU(n)$ y por lo tanto cada elemento es semisimple.

Por otra parte en  http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102780613 se da un ejemplo de un subgrupo $\Gamma$ de $GL(n,\mathbb{C})$ tal que todos sus elementos son conjugados a matrices unitarias, pero el grupo completo no es conjugado a un subgrupo de $U(n)$. Este grupo tiene que ser no finito por lo que vimos arriba.

Comments

Sólo una duda, creo debí ser más explicito en el problema, en el caso $\mathbb{C}$ se entiende que semisimple quiere decir diagonalizable, ó que para todo subespacio invariante ante $T$ admite un complemente también invariante ante $T$, ¿coincido con usted?

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Claro, la respuesta no es elemental. Pero queria mostrar la "big picture".

Si, una matriz unitaria es diagonalizable.

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Desde luego, pero es una bonita forma de ver que el problema admite varias soluciones.
Esperemos pues una demostración elemental, pero se agradece Carlos su solución del problema, desde otro punto de vista algo "pesadón".
Esperemos alguien se interese en el problema, despues de ver su solución.