Endomorfismo de un $\mathbb{Q}$-espacio vectorial.

Question

Sea $V$ espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$, con $dim(V)=n$.

Sea $T\in{End_{\mathbb{Q}}(V)}$, con $T^5=1$, además  si $T(v)=v \Rightarrow v=0$

Entonces  $n=4q$  con $q\in{\mathbb{N}}$

Comments

¿Qué es $q$?

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¿Qué pasaría si le dejamos las mismas hipótesis pero que sea sobre $\mathbb{C}$?

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Cualquier matriz diagonal con entradas que son raices quintas del $1$ diferentes de $1$ cumple las hipotesis.

Answer 1

Consideremos la forma racional de Jordan de $T$ y sean $A$ uno de sus bloques y $W\subset V$ el subespacio invariante correspondiente. Esto quiere decir que hay un $v\in W$ tal que $\{v,Tv,T^2v,\dots,T^kv\}$ es una base de $W$. Como $T^5v=v$, vemos que $k\leq 4$. $A$ no puede tener valores propios reales $\lambda\in \mathbb{R}$ porque $A^5 w = \lambda^5 w = w$ implica que $\lambda =1$ lo que contradice las hipotesis. Esto descarta los casos $k=0,2,4$.

$k=1$ no puede ser porque como $A$ no tiene valores propios reales, entonces $A$ tendria que ser un multiplo de una rotacion. Ademas $A^5=id$ implica que esta rotacion es con un angulo de $\frac{2\pi m}{5}$. Entonces $A$ no puede ser racional.

Concluimos que $k=3$ y los bloques en la forma racional de Jordan de $T$ son todos de tamano $4$, por lo tanto $n=4q$.