Duda sobre series y sucesiones

Question

Una duda:
si tengo una sucesión decreciente a_1 >= a_2 >=... y la serie formada con estos términos es convergente que pasa con la sucesión si a cada término lo multiplico por n, es decir, ´cómo sería (1)a_1, (2)a_2, .... (n)a_n. ¿ también sería decreciente o se invierte la desigualdad???

Answer 1

Sea $\epsilon>0.$ Como la serie $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ es convergente entonces la sucesión $s_{k}=a_{1}+\ldots+a_{k}$ es de Cauchy. Así, existe $M\in \mathbb{N}$ tal que

$|s_{m}-s_{\ell}| <\frac{\epsilon}{2}$

siempre que $m,\ell \geq M.$ Luego, si $n>2M$ se sigue que

$\displaystyle \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor +1 > \frac{n}{2} \geq \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor \geq M$

y por lo tanto

$\begin{eqnarray*}\frac{\epsilon}{2} &>& \left |s_{n}-s_{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \right | \\

&=& \left |a_{n}+a_{n-1} + \ldots + a_{ \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor + 1} \right|\\

&=& a_{n}+a_{n-1} + \ldots + a_{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor + 1}\\

&\geq& \left(n- \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor\right)a_{n} \\

&\geq& \frac{n}{2}a_{n}.

\end{eqnarray*}$

Nótese que hemos utilizado la observación hecha en los comentarios al "post" de Raúl: la hipótesis de que la sucesión $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ es decreciente y el hecho que $\lim_{n \to \infty} a_{n}=0$ (el cual se sigue de la condición necesaria para la convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$) implican que los términos de la sucesión $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ son todos no negativos.

Comments

Y ahí está la solución!!! Gracias José.

Answer 2

Toma la sucesión. $(\frac{1}{n})_{n\in \mathbb{N}}$, es decreciente y convergente. Y si multiplicas $(1)a_{1}, (2)a_{2}.....$ resulta $1,1,1,......$

Comments

Pero si entiendo bien, no es la sucesión la que debe ser convergente sino la serie conformada por ella...

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La cuestión es que me están dando una sucesión a_1>=a_2>=...>=a_n>=..., es decir  una sucesión decreciente y cuya serie (formada por los términos de la sucesión) es convergente y hay que demostrar que el límite cuando n tiende a infinito de la sucesión na_n es 0. Mi idea es ver como es la serie de términos na_n para luego aplicar algún criterio como el de comparación y ver si la serie formada por los términos de na_n también es convergente y así concluir que el límite de la sucesión na_n es 0.

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¡Ah! Si es eso lo que quieres demostrar, la sugerencia sería que utilizaras mejor el hecho que la sucesión de sumas parciales de la serie es sucesión de Cauchy. Notar también que como consecuencia de las hipótesis se sigue que los elementos de la sucesión $\{a_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}$ son mayores o iguales a $0$.

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Bueno si, la sucesión {a_n} de hecho converge y su límite es 0 ya que la serie formada con sus términos es convergente y por ser esta serie convergente, la sucesión de sumas parciales de la misma converge a un límite y por lo tanto es de Cauchy. Pero ahora entonces, ¿cómo doy por hecho que la otra sucesión, formada por las sumas parciales de la serie de términos {na_n} es también de Cachy?

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