Función sobre un abierto

Question

[tex] Sea $ f \colon A \subseteq \mathbb{R} to\ \mathbb{R}$ , abierta si $A$ es abierto y  $\forall{B}$   $\subseteq$ $A$ $ f(B)$ es abierto. Sea $f$ abierta e inyectiva.Compruebe que si el recorrido de f es un intervalo tambien lo es su dominio. De un contraejemplo si la función no es inyectiva. [¨/tex]

Comments

Tu enunciado no está bien redactado. Parece ser que primero tomas una función f abierta, y luego das una condición redundante (si f es abierta), o la estás definiendo?

Después de eso se pide demostrar cierto hecho, para el que posteriormente se pide un contraejemplo... o acaso es que pides f inyectiva pero no abierta, o cómo?

Answer 1

A ver si entiendo bien.

Sea $A\subset \mathbb{R}$ abierto y tomamos $f:A\rightarrow \mathbb{R}$ una funcion que manda abiertos a abiertos y que ademas es injectiva. Supongamos que $f(A)$ es un intervalo y queremos probar que $A$ es un intervalo.

Bueno, como $f$ es injectiva entonces tenemos una inversa $f^{-1}:f(A)\rightarrow \mathbb{R}$ y como $f$ era abierta eso quiere decir que $f^{-1}$ es continua. Ahora la imagen de un conexo bajo una funcion continua es conexa. Eso implica que $A=f^{-1}\circ f(A)\subset \mathbb{R}$ es conexo. Pero los subconjuntos conexos de $\mathbb{R}$ son precisamente los intervalos.

Para el contraejemplo sea $A=(0,1)\cup (1,2)$ y definimos $f:A\rightarrow \mathbb{R}$ como $f(x)=x$ si $x\in(0,1)$ y $f(x)=1-x$ si $x\in(1,2)$. $f$ es claramente abierta y no inyectiva, ademas $f(A)=(0,1)$.