Área de un triángulo equilátero en particular

Question

Tengo un problema con un ejercicio que no debería salir tan difícil...

Supongamos que l y m son rectas paralelas al eje x tal que l pasa por (0,a), donde a>0 y m está a una distancia b de l (Lo que significa que l pasa por (0,a+b)). Si se supone que l está entre m y el eje real, expresar el área del triángulo equilátero que tiene un vértice en cada una de estas rectas paralelas, en términos de a y b.
Una representación sería:

Comments

Me parece que el problema no está bien plateado. Se pueden trazar muchos triángulos equiláteros con un vértice sobre la recta l y uno sobre la recta m: en otras palabras, a y b no determinan por sí solas a un único triángulo equilátero en el plano cartesiano... Quizás hay un dato sobre el tercer vértice que olvidaste mencionar.

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Un tercer vértice estaría en el eje x, olvidé mencionarlo.

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Bueno..de algún modo, al decir que el "triángulo equilátero...tiene un vértice en cada una de estas rectas paralelas", además de la observación del gráfico propuesto, puede entenderse que se consideraba como '3ra recta' al eje x.

Answer 1

Podemos suponer que el vertice que esta sobre el eje x es el $(0,0)$. Entonces el vertice sobre $l$ es $(x_1,a)$ y el vertice sobre $m$ es $(x_2,a+b)$.

Sea $R$ la rotacion del plano con un angulo de $\pi/3$ en sentido contrario a las manecillas del reloj. Entonces $R(x_1,a)=(x_2,a+b)$. Si pensamos en numeros complejos, esto es lo mismo que:
 
\begin{equation}
x_2+i(a+b)=(\cos\pi/3 + i\sin\pi/3)(x_1+ia)=(1/2+i\sqrt{3}/2)(x_1+ia)\\=(x_1/2-a\sqrt{3}/2)+i(a/2+x_1\sqrt{3}/2).
\end{equation}

De donde concluimos que $a+b=a/2+x_1\sqrt{3}/2$ o equivalentemente $x_1=(a+2b)/\sqrt{3}$.

Ahora si $\ell$ es el lado del triangulo, entonces su area es $A=\sqrt{3}\ell^2/4$. Ademas sabemos que

$\ell^2=x_1^2+a^2 = 4(a^2+ab+b^2)/3$.

Entonces

$A= (a^2+ab+b^2)/\sqrt{3}$.

Comments

Ciertamente se facilitaba tomando al origen como vértice. Pues gracias.

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Ojo: Si $\textbf{l}$ es el lado del triángulo, su área es: $\frac{\sqrt{3} l^2}4$

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Cierto. Gracias, ya lo cambie.

Answer 2

* Las medidas de los segmentos en el lado que aparece "más a la izquierda", son proporcionales a los valores $\textbf{a}$ y $\textbf{b}$. Así, ayudándonos de una constante de proporcionalidad [sea $\textbf{k}$], se tiene lo siguiente:

** Sea $\textbf{x}$ el tamaño de la porción de la recta "$\textbf{l}$" contenida en el triángulo. Luego, aplicamos la "Ley de Cosenos" para el cálculo de $\textbf{x}$ (por ejemplo, con el triángulo pequeño "interior INFERIOR"):

$x^{2} = [(a+b)k]^2 + [ak]^2 - 2[(a+b)k][ak]\cos(\pi/3)$ → $x=(\sqrt{a^2+ab+b^2})k$

*** Ahora, expresamos el área "$\textbf{V}$" del mismo triángulo ("interior inferior") de 2 maneras:

I.-  $\textbf{V}$ = $\frac{(x)(a)}{2}$ = $\frac{a\sqrt{a^2+ab+b^2}k}{2}$

II.- $\textbf{V}$ = $\frac{a}{a+b}.\frac{\sqrt{3}[(a+b)k]^2}{4}$ = $\frac{\sqrt{3}a(a+b)(k)^2}{4}$

**** Igualando las expresiones, obtenemos: 

$\textbf{k}$ = $\frac{2}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{a^2+ab+b^2}}{a+b}$

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⇒Luego, el lado del triángulo equilátero es: (a+b)k = $\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{a^2+ab+b^2}$

∴ Área del triángulo equilátero: $\textbf{A}$ = $\frac{\sqrt{3}[(a+b)k]^2}{4}$

$\textbf{A}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{a^2+ab+b^2}$