teorema de gráfico cerrado

Question

 

Verdadero o falso?. Si $T:X\rightarrow Y$ es um operador linear entre espacios normados $X$ y $Y$ , entonces  la cerradura del gráfico de $T$ en $X\times Y$ es el gráfico de algun operador de $X$ en $Y$.ie,

Existe $S\in B (X,Y)$ (lineal e continuo) tal que  $\={graf(T)}$ $ =graf(S)$ ?

 

Comments

¿T es acotado?

Answer 1

Ok, entonces la respuesta es: Falso.

Como contraejemplo, tomemos $X=Y=l^2(\mathbb{N})$ con la norma usual. Sea $s=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...)\in X$. Ahora, tomamos la base ortonormal de $X$ dada por las sucesiones $e_j$, que tienen ceros en todas las posiciones excepto en la posición $j$, en la cual tiene un uno, por ejemplo, $e_2=(0,1,0...)$. Llamemos $E$ a todos los elementos de $X$ que son combinaciones lineales finitas de los $e_j'$s. $E$ es denso en $X$. Definimos el operador $T$ de la siguiente manera:

$$T(cs+e)=cs,$$

donde $c\in\mathbb{R}$ y $e$ es cualquier elemento de $E$. Entonces, $D(T)$ contiene a todas las sucesiones que se ven como algún múltiplo de la sucesión $s$ más algún elemento de $E$. $D(T)$ es, pues, denso en $X$ pero no igual a $X$. Ahora, si tomamos la sucesión $\{s_n=\sum_{j=1}^n \frac{1}{j}e_j\}$, resulta que $s_n\to s$, y $Ts_n=0$ $\forall n\in\mathbb{N}$, de donde $Ts_n\to0$, y por lo tanto, $(s_n,0)\to(s,0)$ en $graf(T)$, y entonces $(s,0)\in\overline{graf(T)}$. Por otro lado, $Ts=s$ por la definición de $T$, así que $(s,s)\in\overline{graf(T)}$. Como conclusión, $\overline{graf(T)}$ no puede ser la gráfica de otro operador.

Comments

Quiso decir: "(...)$e_j$, que tienen ceros en todas las posiciones excepto en la posición $\textbf{j}$, en la cual tiene un uno", entiendo.

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Corregido, gracias

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El espacio donde trabajas es $l^2(\mathbb{N})$

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Cierto, gracias

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Aunque tu ejemplo funciona solo en un subespacio de $X$

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No entiendo bien tu comentario. Sí, $D(T)$ es un subespacio $denso$ de $X$. Si no ves que esto es suficiente, entonces probablemente no entiendes el problema: la única forma que conozco de probar que existen operadores lineales no acotados cuyo dominio es el espacio completo usa el lema de Zorn, es decir, de manera no constructiva. Así que buena suerte tratando de encontrar un operador lineal no acotado definido en todo $X$.

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Exacto, tu ejemplo es para $D(T)$ no para $l^2(\mathbb{N})$

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A ver, dame un ejemplo de un operador no acotado definido en todo $l^2(\mathbb{N})$.

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Lo que digo es que tu ejemplo es en un subespacio de $X$, se me hizo importante remarcarlo justo por lo que tu mismo ya mencionaste, no hay ejemplos explícitos en espacios completos.