Dos discos disjuntos en un pentágono convexo

Question

Dado un pentágono convexo, se consideran los cinco discos que circunscriben los cinco lados del pentágono (es decir, para A y B dos vértices consecutivos del pentágono, el centro del disco es  (A+B)/2  y su diámetro es la distancia entre A y B).

Conjetura: Hay dos de los cinco discos que son disjuntos.

Answer 1

Hola, 

Ya tenemos solución para este problema. Los detalles los pueden encontrar aquí, y la idea de la demostración es la siguiente:

 

Sean A, B, C, D y E los vértices del pentágono (en orden contrario a las manecillas del reloj).

 

Usando las propiedades del medial axis de un polígono convexo, existe un círculo C_1 contenido en el pentágono y tangente a tres lados consecutivos, digamos los lados EA, AB y BC, tales que: las rectas EA y BC se cortan en un punto denotado por P y además el punto P y el círculo C_1 se encuentran en semiplanos diferentes definidos por la recta AB. Denotemos por O el centro de C_1, y asumamos sin pérdida de generalidad que la recta PO es horizontal y que P está a la izquierda de O.

 

Sea C_2 el círculo con centro en P y radio igual a la longitud de los segmentos que conectan al punto P con los puntos de tangencia entre el círculo C_1 y los lados EA y BC.

 

Se cumple entonces lo siguiente:

 

(1) El círculo circunscrito al lado AB está completamente contenido en el círculo C_2.

(2) Si el vértice D está en, o por encima de, la recta PO, entonces el círculo circunscrito al lado DE es ajeno al círculo C_2.

(3) Si el vértice D está por debajo de la recta PO, entonces el círculo circunscrito al lado CD es ajeno al círculo C_2.

 

Con (1), (2) y (3) se obtiene que el círculo circunscrito al lado AB y al menos uno entre los círculos circunscritos a los lados CD y DE, son ajenos. QED.

 

Saludos!

 

 

Comments

¡Excelente! Como me sorprendió un poco la cantidad de geometría involucrada en su solución, hice esta otra pregunta: http://irracional.org/index.php/3603/de-discos-en-plano-hay-con-puntos-comun-tiene-que-haber-ajenos