Probar que si n<m, con n,m en los naturales, entonces existe r en los naturales tal que n+r=m.

Question

Yo hice induccion sobre m.
He aqui lo que hice:
Tenemos que n,m son naturales.

Vamos a probar que si n<m, entonces existe r en los naturales tal que n+r=m.

i) m=2

Entonces si n<m, entonces n<2, luego n=1, asi, poniendo r=1, se tiene que 1+r=1+1=2=m

ii) Ahora, suponga que para algun m' en los naturales, se cumple que para todo k natural que cumpla que k<m', existe r' en los naturales tal que k+r'=m'.

Vamos a probar que para m'+1,se cumple que para todo k natural que cumpla que k<m'+1, existe r en los naturales tal que k+r=m'+1

Tenemos que k<m'<m'+1, y por hipotesis inductiva, ya sabemos que para k natural tal que k<m', existe r' en los naturales tal que k+r'=m', entonces k+(r'+1)=m'+1, luego, poniendo r=r'+1 se cumple que k+r=m'+1 para todo k<m'
Ahora solo nos queda considerar el caso de m'. Poniendo r=1, se cumple que m'+r=m'+1.
Por lo tanto, la proposicion es verdadera.
A mi me da duda lo que hice porque no se si le debo hacer induccion a n tambien. Les agradeceria mucho su ayuda.

Comments

¿Qué no esto es porque si, $m>n \Rightarrow m-n>0 \Rightarrow m=n+r$?

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La prueba por induccion es correcta. Si es la mejor prueba o no, yo creo que depende que es lo que quieres asumir y como defines a los naturales.
Por ejemplo, para hacer lo que dice Juan Carlos tienes primero que definir $-n$ y para esto primero tienes que pasar a los enteros, algo que a lo mejor no querias utilizar en tu argumento.