Continuidad de una función loquilla

Question

Decida dónde es continua y dónde discontinua la función $f:\mathbb R\longrightarrow\mathbb R$ que viene dada por:

$f(x)=\begin{cases} x & \text{si $x\in\mathbb Q$} \\ 0 &\text{si $x\notin\mathbb Q$.} \end{cases}$

Answer 1

Ahí va pues. Dado $\epsilon$ hacemos $\delta=\epsilon$ y entonces $|x-0|=|x|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(0)|=|f(x)|\leq|x|<\delta=\epsilon$, demostrando que $f$ es continua en 0.

Ahora, si $x\in\mathbb{Q}-\{0\}$, entonces por la densidad de los irracionales entre los racionales y de los racionales en sí mismos, podemos encontrar dos sucesiones $\{x_n\}\subset\mathbb{Q}$ y $\{y_n\}\subset\mathbb{R}-\mathbb{Q}$, ambas convergentes a $x$. Sin embargo, $f(x_n)\to x$ y $f(y_n)\to 0\neq x$, de donde $f$ no puede ser continua en $x$.

De manera similar, si $x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}$, entonces por la densidad de los irracionales en sí mismos y de los racionales entre los irracionales, podemos encontrar dos sucesiones $\{x_n\}\subset\mathbb{Q}$ y $\{y_n\}\subset\mathbb{R}-\mathbb{Q}$, ambas convergentes a $x$. Sin embargo, $f(x_n)\to x$ y $f(y_n)\to 0\neq x$, de donde $f$ no puede ser continua en $x$.

Comments

Tanto esta respuesta como la de Kuko son correctas... elijo esta debido a que Yarza había sido el primero en contestar la pregunta (aunque sin demostración), por lo cual considero que lleva prioridad.

Answer 2

Sólo es continua en 0.

Comments

¿Por qué? (quizá sea mi culpa, tal vez debí explícitamente añadir al final: "y demuestre todo lo que se afirme").

---

[ "Like" para el comment de David. :) ]

---

Y otro para Yarza.

---

Bueno. Será que alguien puede contarnos ¿qué ocurrió con la otra respuesta (desarrollada) que había sido publicada?

---

No lo sé, simplemente desapareció de pronto. Es una lástima, porque el chavo ya casi tenía una demostración completa de la discontinuidad en los irracionales...

Answer 3

Hazlo por el criterio de sucesiones si x es irracional te tomas una sucesion (x_n)de racionales que converja a x entonces f(x) no coincide con el lim f(x_n) analogamente para x racional (x distinto de 0) y para x=0 basta tomar  Delta = Epsilon