Si $f$ es una funcion derivable y $f'(c)>0$, entonces $f$ es estrictamente creciente en un vecindario de $c$.

Question

Ocupo demostrar que ese enunciado es falso y necesito saber si lo que hice esta bueno o malo:

 

Considere la funcion $g(x)=x+2x^2\sin (\frac{1}{x})$ si $x\neq 0$ y $g(0)=0$, entonces $g'(x)=1+4x\sin (\frac{1}{x})-2\cos (\frac{1}{x})$ si $x\neq 0$ y $g'(0)=1$. Tome $c=0$, hqpq: $f$ no es estrictamente creciente en $\bigvee_\epsilon(0)$

Sea $n\in \mathbb{N}$ entonces $g'(\frac{1}{2n\pi })<0$ y $g'(\frac{1}{(2n+1)\pi })>0$

Por Teorema del Valor Medio $\exists c=\frac{1}{2n\pi }$ tal que $\exists a_1 , b_1 \{c\in ]a_1 , b_1[\wedge [a_1 , b_1]\in \bigvee_\epsilon(0) \wedge \frac{g(b_1)-g(a_1)}{b_1 - a_1}=g'(c)\}$

$\Rightarrow \frac{g(b_1)-g(a_1)}{b_1 - a_1}<0$

$\Rightarrow g(b_1)-g(a_1)<0$

$\Rightarrow g(b_1)<g(a_1)$

 

Por Teorema del Valor Medio $\exists d=\frac{1}{(2n+1)\pi }$ tal que $\exists a_2 , b_2 \{d\in ]a_2 , b_2[\wedge [a_2 , b_2]\in \bigvee_\epsilon(0) \wedge \frac{g(b_2)-g(a_2)}{b_2 - a_2}=g'(d)\}$

$\Rightarrow \frac{g(b_2)-g(a_2)}{b_2 - a_2}>0$

$\Rightarrow g(b_2)-g(a_2)>0$

$\Rightarrow g(b_2)>g(a_2)$

Comments

Primero que nada: creo que cuando calculas $g'(x)$ el último término es $-2x^2\cos\left(\frac{1}{x}\right)$, se te escapó la $x^2$... si bien no creo que realmente necesites calcular el valor de $g'(x)$ para $x\neq 0$. Me parece que tienes la idea correcta y la función que escribiste sí va a funcionar, pero después te haces demasiadas bolas. No manipules $g'$, manipula directamente $g$: comienza agarrando $\varepsilon>0$ y encuentra $x,y\in V_\varepsilon(0)$ que testifiquen que $g$ no es creciente en esa vecindad. Esto no es muy complicado, y la idea que necesitas ya la tienes escondida por ahí: consigue dos números $x,y$ (que presumiblemente serán de la forma $\frac{1}{2k\pi}$ para ciertos valores de $k$) tales que $x,y\in V_\varepsilon(0)$ con $x<y$ y $g(x)>0>g(y)$; esto automáticamente testifica que $g$ no es creciente en $V_\varepsilon(0)$. No hay necesidad de calcular $g'$ (únicamente en $0$, para mostrar que efectivamente $g'(0)>0$, en el resto de puntos basta argumentar que $g'$ existe) ni de utilizar el teorema del valor intermedio.

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Parece que estás usando mal el Teorema del Valor Medio. Éste asegura que si tu función es continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$, entonces existe $c\in (a,b)$ tal que $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$. Tu estás dando la $c$ primero y asegurando que $a$ y $b$ están cerca. Por ejemplo, si tomas $f(x)=x^3$, verás que si tomas $c=0$ no habrá ningún par $(a,b)$ para el que dicho $c$ satisfaga el Teorema del Valor Medio.

Es fácil probar que el resultado es cierto cuando $f'$ es continua, así que el contraejemplo debe de tener una discontinuidad escencial en la derivada (debe oscilar mucho cerca del punto de interés) que es lo que trataste de hacer al poner el $2x^2\sin(\frac{1}{x})$. El problema aquí es que como estás cerca de 0, este término será "mucho menor" que x, así que no creo que éste sea el contraejemplo (aunque mi intuición ha fallado recientemente).