Question

¿Qué es un nudo salvaje?

Answer 1

Es un nudo que no puede representarse con un lazo suave ($C^2$). En el dibujo hay una sucesión infinita de bucles. Como la curva es compacta, el tamaño de los bucles debe tender a cero, y por lo tanto hay una secuencia de puntos donde la curvatura tiende a $\infty$. Se sigue que el lazo (es en efecto una imagen continua de $S^1$) no puede ser suave, y el nudo es salvaje.

Alternativamente, un nudo salvaje puede ser como el que tiene este fulano en el hombro...

Comments

Para hablar de la curvatura de la curva necesitas que sea $C^2$. Como demuestras que no es $C^1$?
Seria mejor tal vez argumentar con la recta tangente a la curva. El punto donde los bucles se acumulan no tiene una recta tangente bien definida.

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Claro... ya lo arreglé.

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Un poco "salvaje" la ilustración de Rodrigo (será que era necesario para ilustrar cuan 'general' puede ser la interpretación al enunciado de la pregunta)...

P.D.: Ja.

Answer 2

Un nudo "manso'', parametrizado, de la 3-esfera ${\mathbb S}^3$ es un encaje (embedding) topológico $h:{\mathbb S}^1\to{\mathbb S}^3$ del círculo $\mathbb S^1$ en la 3-esfera $\mathbb S^3$ tal que la imagen tiene una "vecindad tubular", es decir $h$ se extiende a un homeomorfismo $H:{\mathbb D}^2\times{\mathbb S}^1\to{\mathbb S}^3$, donde ${\mathbb D}^2$ es el 2-disco cerrado. A veces a la imagen $K=h(\mathbb S^1)$ de $h$ es a lo que se le llama nudo. Es fácil demostrar que si $h$ es una función afín por trozos entonces el nudo es manso. También si el nudo es de clase $C^1$. Si el nudo no es manso entonces se llama nudo salvaje. El ejemplo que pone Rodrigo es el ejemplo de Artin y Fox el cual tiene un solo punto "salvaje" es decir no tiene un entorno tubular local. Un teorema de Whitehead dice que un nudo $K$ (imagen de un encaje del círculo) es manso si y sólo si el complemento ${\mathbb S}^3-K$ tiene grupo fundamental finitamente generado. Luego un nudo es salvaje si y sólo si el grupo fundamental del complemento es infinitamente generado. Existen nudos que son salvajes en todo punto, por ejemplo se pueden construir nudos salvajes que son el conjunto límite de grupos Kleinianos finitamente generados actuando conformemente (preservando ángulos) en la 3-esfera. Un video excelente de Aubin Arroyo que ilustra esto se encuentra en imaginary.org:
http://imaginary.org/film/nudos-salvajes