¿qué continuar?

Question

Usualmente las licenciaturas de matemáticas ofrecen tres semestres de álgebra.

Álgebra moderna uno donde estudias la primera parte de la teoría de grupos. 

Álgebra moderna dos, donde estudias lo básico de teoría de anillos, de campos y de módulos.

Y ya en álgebra moderna tres donde hay oportunidad de continuar naturalmente hacia técnicas más finas con respecto a los dos semestres anteriores.

La cuestión: en álgebra moderna tres ¿hacia que seguir?

Déjeme dar mi opinión.

Hay de entrada dos alternativas (en orden de complejidad)

1. Teoría de Cauchy Sylow (para estudiar los grupos finitos. E inmediatamente la teoría básica para estudiar los grupos infinitos que incluye los teorema fundamentales de subrgrupos (Schreier y Kurosh) que somn temas un poco más contemporáreos, comparados con:
2. La teoría de extensiones de campos y la teoría de Galois, como continuación de los estudios de los anillos.

Desde un punto de vista quizá un poco sesgado, creo que las técnicas que aportan la primera parte van más directamente diseñados para los requerimientos de un matemático moderno básico que se va a encontrar en su futuro inmediato en territorios donde el lenguaje de categorías dominará. 

 

 

 

 

Comments

Si para Moderna III se propone como una opción al teorema de Cauchy en grupos, los teoremas de Sylow, etc. entonces, ¿exactamente a que te refieres con "la primera parte de la teoría de grupos"?

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Pues yo vi en Moderna III un poco de Teoría de Categorías, pero principalme el curso fue Teoría de Módulos.

Dependerá mucho del profesor que imparta el curso.

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Para álgebra moderna uno se tiene

0) preliminares:
conjuntos, mapeos, relaciones, relaciones de equivalencia,
particiones, cocientes, aritmética, primos, teorema fundamental
de factorización prima, algoritmo de la división, máximo común divisor,
operaciones binarias en conjuntos, estructuras algebraicas.

1) definición de grupos, ejemplos, unicidad de neutro e inverso, orden de elemento, conmutadores.

2) subgrupos, operaciones con subgrupos, subgrupos normales, cosets

3) morfismos, cocientes, teoremas fundamentales.

4) grupo simétrico, Teorema de Cayley, A_5 es simple.

5) acciones de grupos, ecuación de clase, teorema de Cauchy, teoremas de Sylow

pero, la "vastedad" de temas y la duración del "semestre", casi no permiten abordar lo último.

Para álgebra moderna tres no es centrarse en eso último que no se llevó sino concentrarse en la técnica de Schreier y Kurosh para los grupos libres y productos libres.

La teoría de Galois puede ser postergada debido a que muchas maestrías lo ofrecen optativamente como parte de sus programas.

Answer 1

No veo por qué los teoremas de Sylow sea más categórica que teoría de Galois. De hecho, teoría de Galois es fundamental en varias ramas modernas de la matemática y ademàs es bastante activa.

Answer 2

En mi caso, mi universidad ofrecía no tres, sino cuatro cursos de Álgebra Moderna. Por cierto, en Álgebra Moderna I (Teoría de Grupos) cubrimos por completo la teoría de Cauchy-Sylow, más aparte grupos libres, libres abelianos, solubles, nilpotentes, productos semidirectos, etc. No recuerdo que "la duración del "semestre"" haya sido un obstáculo. Y en Álgebra Moderna III cubrimos Teoría de Galois, desde luego. En nuestro caso, la pregunta más bien era: ¿qué hacer en Álgebra Moderna IV? Y la respuesta que ofrecía la escuela era "lo que sea que el profesor, tras consultarlo con los alumnos, decida". Un poco con el entendido de que al principio se den al menos las nociones más básicas de Teoría de Módulos, en mi caso de ahí nos fuimos para la teoría de los Dominios de Dedekind, fundamental en Teoría Algebraica de Números. Conozco otros compañeros que se metieron duro en Teoría de Categorías, y aún otros que vieron un poquito de Geometría Algebraica, lo cual muestra que el curso es muy versátil. Si algún día yo lo impartiera, me gustaría tratar justamente lo que tú sugieres, lo básico de grupos infinitos, quizá con un sutil sesgo hacia los grupos abelianos infinitos y con el ojo puesto en el problema de Whitehead (me gusta mucho ése porque salió indecidible, jejeje).