¡Buenas, buenas!
Tengo el siguiente ejercicio:
Asuma que R es un anillo conmutativo. Demuestre que lo siguiente es equivalente:
(i) $R$ tiene exactamente un ideal primo.
(ii) Todo elemento de R es o nilpotente o unidad.
(iii) $R/\eta(R)$ es un cuerpo.
($\eta (R)$ es el conjunto de los elementos nilpotentes)
He mostrado
(iii) implica (ii)
Supongamos que $x\in R$ no es unidad y que $x\not\in \eta(R)$. Como $R/\eta(R)$ es un cuerpo existe $y\in R$ tal que \[(x+\eta(R))(y+\eta(R))=xy+\eta=1+\eta\]. Luego existe $z\eta(R)$ tal que $xy=1+z$ y por tanto $xy$ es unidad en $R$. Luego, existe $(xy)^{-1}$ pero esto implica $x(y(xy)^{-1})=(xy)(xy)^{-1}=1$ que implica que $x$ es unidad. Esto es una contradicción. Luego, $x$ es nilpotente.
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(ii) implica (i)
Demostramos que $\eta(R)$ es un ideal primo.
Si $ab\in \eta(R)$ existe $n$ tal que $(ab)^n=0$ entonces $a^nb^n=0$ porque $R$ es conmutativo. Supongamos además que $a\neq 0$ y $b\neq 0$. Debemos tener que o bien $a^n=0$ o $b^n=0$ o bien $a^n\neq 0$ y $b^n\neq 0$. Si $a^n=0$ o $b^n=0$ entonces o $a$ o $b$ está en $\eta(R)$ como queríamos. Si sucede que $a^n\neq 0$ y $b^n\neq 0$ entonces son divisores de cero, como por hipótesis en $R$ sólo hay elementos nilpotentes y unidades, y ningún divisor de $0$ es unidad, entonces $a^n$ y $b^n$ son nilpotentes, por tanto $a$ y $b$ son nilpotentes. Luego $\eta(R)$ es un ideal primo.
Dado $I$ un ideal primo en $R$, tenemos que si a $I$ pertenece alguna unidad entonces $I=R$, luego todos los elementos de $I$ son nilpotentes, o sea que $I\subset\eta(R)$. Dado $x\in\eta(R)$ existe $n$ natural tal que $x^n=0\in I$ pero esto implica que $x\in I$ puesto que $I$ es primo. Entonces $I=\eta(R)$ lo que prueba la unicidad.
No he podido solucionar (i) implica (iii), ¿algún consejo?
¡Gracias! :D :D :D
