Logica proposicional: Caballeros y rufianes

Question

El señor $K$ se dirige a una isla de caballeros y rufianes. Los caballeros siempre dicen la verdad, y los rufianes siempre mienten. Se encuentra con dos personas $A$ y $B$.

$A$ dice: "En cualquier caso el otro es rufian" ¿ Quienes son $A$ y $B$?

Este es un problema adaptado del libro de R, Smullyan "What is the name of this book", mi inquietud es, si con estos datos se puede saber exactamente que es cada uno de estos dos individuos.

Si suponemos que $A$ es caballero, entonces dice la verdad y en cualquier caso $B$ es rufian.

Ahora si suponemos que $A$ es rufian, entonces miente y existe algun caso donde $B$ es caballero, por lo anterior $B$ no puede ser caballero si $A$ es caballero, de donde $B$ tiene que ser caballero si $A$ es rufian.

¿ Esto es correcto? ¿ Es decir la conclusion seria que si $A$ es caballero entonces $B$ es rufian y que si $A$ es rufian entonces $B$ es caballero o se puede saber la identidad de estos con exactitud sin importar la suposicion inicial?

Answer 1

Si preguntas a B que es lo que A diria, pero como sabes que A dice ''en cualquier caso el otro es rufian'', entonces, si B miente te respondera negando el enunciado de A, en tal caso respondera ''en cualquier caso el otro es caballero'' de lo que concluyes que B es rufian y A es caballero.

Comments

En la negacion de "en cualquier caso el otro es rufian" se ve el "en cualquier caso" como un "para todo caso" y la negacion de el cuantificador para todo es un exite, por lo tanto la negacion seria "existe un caso donde el otro es un caballero"

Answer 2

Según mi interpretación, sería como sigue:

Considera la posibilidad de que $A$ sea rufián y $B$ sea caballero. Entonces $A$ miente, por lo cual existe la posibilidad de que $B$ sea caballero (como dices tú: "existe algún caso donde $B$ es caballero"), no se puede saber con certeza si lo es o no, pero no hay contradicción alguna si suponemos que lo es. Por lo tanto, el escenario donde $A$ es rufián y $B$ es caballero es "consistente", es decir, no lleva a contradicción alguna.

Pero entonces este escenario representa, en particular, un caso donde $B$ es caballero. Por lo tanto no es cierto que "en cualquier caso, $B$ es rufián". Es decir, que $A$ miente y por lo tanto ha de ser rufián.

Creo que solamente se puede argumentar hasta ahí, se concluye que $A$ es rufián y no queda claro qué es $B$. Ahora, quizás haya quien argumente que $B$ debe de ser caballero, alegando que de lo contrario sería cierto lo que dice $A$... lo cierto es que la expresión "en cualquier caso" es ambigua, y cómo se resuelva el acertijo depende de cómo se interprete dicha expresión. También hay que tener en cuenta que el problema es una traducción del inglés (asumo que lo sacaste de alguno de los libros de Smullyan), lo cual complica aún más la situación, ya que algún matiz de la frase "en cualquier caso" pudo quedarse perdido en la traducción...

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En efecto mi problema esta en la interpretacion de la expresion "en cualquier caso", creo que esta es una traduccion de el profesor que nos dejo este ejercicio(que es sacado de un libro de Smullyan) y en efecto la traduccion pudo afectar una clara interpretacion. Muchas gracias.