Divisores y divisores primos

Question

Sea $m$ un número que tiene exactamente $n$ divisores, en donde $n$ es un número con exactamente 4 divisores y tal que $\sqrt[3]{n}$ no es un número entero. Demuestre que $m$ tiene a lo más dos divisores primos.

Answer 1

Recordemos que el numero de divisores de un numero $m=p_1^{k_1}\dots p_t^{k_t}$ donde $p_i$ son primos diferentes y $k_i\geq 1$ es $d(m)=(k_1+1)\dots(k_t+1)$.  

Entonces como $n$ no es de la forma $p^3$ tenemos que $n=p_1p_2$ es producto de dos primos distintos.

Se sigue $p_1p_2 = (k_1+1)\dots(k_t+1) $ y por lo tanto $t\leq 2$.

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