Permutaciones

Question

¿De cuántas maneras se puede tomar un número impar de objetos, de un conjunto de  objetos?

Si hay n objetos el número de combinaciones de tamaño r tomadas de los n objetos es n!/[r!(n-r)!]. Ahora si el número de objetos es par, entonces hay n/2 impares; por ejemplo si n=4 hay dos conjuntos de elementos impares: 1 y 3 objetos. si n es impar hay (n+1)/2 conjuntos de objetos de tamaño impar; por ejemplo si n=5 hay: 1,3 y 5.

Entonces si hay que seleccionar un número r impar de objetos de los n que tenemos, por principio multiplicativo sería:

Si n es par:  (n/2)(n!/[(n-r)!]) y si n es impar  ((n+1)/2)(n!/[(n-r)!])

Mi pregunta es si estoy en lo correcto.  Gracias!

Comments

No estoy muy seguro de entender lo que preguntas. Las maneras de tomar un subconjunto de objetos de un conjunto de tamaño n es 2^n (esto es, la suma de todas las combinaciones (n  r):=${n \choose r}$). Ahora bien, cada subconjunto es de tamaño par o impar... entonces hay 2^(n-1) subconjuntos de tamaño impar (esto es, la suma de todas las combinaciones (n r) con r impar). En tu ejemplo de n=4, hay 4 subconjuntos de tamaño 1 y hay 4 subconjuntos de tamaño 3, o sea, hay 4+4=2^3 subconjuntos de tamaño impar en un conjunto de tamaño 4. Ahora bien, la r puede tomar techo(n/2) valores distintos. En el ejemplo de n=4, r puede tomar 2 valores distintos, a saber, 1 y 3.

Veamos el ejemplo n=5. Hay 3 valores posibles para r, 1,3 y 5. Por lo tanto, hay 5 subconjuntos de tamaño 1, 10 de tamaño 3, y 1 de tamaño 5, esto es 5+10+1=2^4.

Mi dudas es si preguntas que (n 1)+(n 3)+...+(n techo(n/2))=2^(n-1).

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De hecho es como comentas, hay que ver de cuantas maneras se puede seleccionar conjuntos de tamaño 1, de 3 y de 5 (para el caso n = 5 por ejemplo), así la forma de tomar un objeto de entre los n sería (n  1), la manera de tomar 3 sería (n   3), es decir r es el tamaño de los conjuntos y el tamaño es impar, (por cierto (n  r) intenta ser un coeficiente binomial).

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Entonces en tu fórmula, para n=4 y r=1, dice: 2(4!/3!)=8. Si estoy entendiendo bien tu interpretación, quiere decir que en un conjunto de tamaño 4 hay 8 conjuntos de tamaño 1, lo cual es falso ya que como lo dices en el segundo renglón, hay n!/(r!(n-r)!) subconjuntos de tamaño r en un conjunto de tamaño n, es decir, 4 en nuestro ejemplo.