Desigualdades para combinaciones enteras implican desigualdad para el producto

Question

Dados dos números reales positivos $a$ y $b$, sea $N(a,b)$ la sucesión obtenida de listar todos los números de la forma $am+bn$ con $m$ y $n$ enteros no negativos en orden creciente, incluyendo las repeticiones que pudiera haber. Por ejemplo, $N(1,4) = 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, \ldots$. Aquí $5$ aparece dos veces porque se puede escribir como $m+4n$ de dos formas distintas: $(m,n) = (5,0)$ y $(m,n) = (1,1)$. El $8$ aparece tres veces porque $m+4n=8$ para $(m,n) = (8,0), (4,1)$ y $(0,2)$. Escribiremos $N_n(a,b)$ para el $n$-ésimo número de la sucesión $N(a,b)$.

Torito. Probar que si 4 números positivos $a,b,c,d$ son tales que para todo $n$, $N_n(a,b) \le N_n(c,d)$, entonces necesariamente $ab \le cd$.

Sé que eso es cierto porque oí en una plática sobre geometría simpléctica el siguiente teorema:

Teorema. Sean $a,b,c,d$ números positivos. Entonces son equivalentes:

1. Que para toda $n$, $N_n(a,b) \le N_n(c,d)$.
2. Que exista un encaje simpléctico de $E(a,b)$ en $E(c,d)$, donde $E(a,b)$ es el elipsoide $\{ (w,z) \in \mathbb{C}^2 : \frac{|w|^2}{a}+ \frac{|z|^2}{b} \le 1 \}$.

Creo que $2 \Rightarrow 1$ lo probó Michael Hutchings (bueno, más bien es consecuencia de un teorema más general de Hutchings) y $1 \Rightarrow 2$ lo probó Dusa McDuff.

Este teorema resuelve el torito, porque si existe un encaje simpléctico $E(a,b) \hookrightarrow E(c,d)$, entonces el volumen de $E(a,b)$ debe ser menor o igual que el volumen de $E(c,d)$, lo cual da la desigualdad $ab\le cd$. Lo que de hecho propongo como torito es dar una prueba elemental del resultado, que seguramente también existe.

Comments

Para los que puedan estar interesados, en este link http://www.cornell.edu/video/dusa-mcduff-symplectic-geometry  se puede ver una platica en la que Dusa McDuff habla sobre encajes simplecticos y, en particular, el Teorema que menciona Omar Antolín.

Answer 1

Gracias a José Hdz por recordarme este torito.

Supongamos que $N_n(a,b) \le N_n(c,d)$ para toda $n$. Entonces también tenemos que para cualquier $N$ la cardinalidad de $\{n : N_n(c,d) \le N\}$ es menor o igual que la de $\{n : N_n(a,b) \le N\}$. Esas cardinalidades las podemos pensar más geométricamente como el número $P_N(a,b)$ de puntos de coordenadas enteras en el triángulo $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x,y \ge 0, ax+by \le N\}$. De modo que la suposición que hicimos implica que $P_N(c,d) \le P_N(a,b)$ para toda $N$.

Dividiendo ambos lados de la desigualdad $ax+by \le N$ por $N$, podemos reexpresar $P_N(a,b)$ ese número como el número de puntos de coordenadas racionales con denominador $N$ en el triángulo $T(a,b) = \{(x,y) : x,y \ge 0, ax+by \le 1\}$.

Asociamos a cada uno de esos $P_N(a,b)$ puntos $(x,y)$ el cuadrito $[x,x+1/N] \times [y,y+1/N]$. La unión de esos cuadritos es una "aproximación pixelada" a $T(a,b)$. La aproximación pixelada tiene área $P_N(a,b)/N^2$ y cuando $N \to \infty$ esto debe tender al área de $T(a,b)$ que es $1/(2ab)$. Como $P_N(c,d) \le P_N(a,b)$ para toda $N$, concluímos que $1/(2cd) \le 1/(2ab)$, es decir, que $ab \le cd$.