Problema sobre combinaciones

Question

Mi pregunta es sobre combinatoria y es que: si tengo los números del 1 al 25 dispuestos de manera circular y aleatoria, ¿cómo demuestro que, independientemente de su posición en el círculo, existen tres consecutivos que su suma es mayor o igual a 39?   Quiesiera alguna sugerencia.  Gracias!

Answer 1

Sean $a_0,\dots,a_{24}$ un reordenamiento de los numeros 1 - 25. La suma de tres consecutivos en el circulo es de la forma $k_i=a_{i-1}+a_i+a_{i+1}$ con $i=0,\dots, 24$ y los subindices son tomados modulo $25$.

Entonces

$k_0+\dots+k_{24} = 3 (a_0 +\dots+a_{24})=3(1+\dots+25)=3\cdot 25\cdot 26 /2 = 39\cdot 25$.

Tenemos 25 numeros positivos ($k_0,\dots,k_{24}$) cuya suma es  $39\cdot 25$. Por lo tanto al menos uno de ellos tiene que ser mayor o igual a $39$