La veracidad de la afirmación de lzzyro se puede establecer con ayuda del siguiente
Lema. Sean $G$ un grupo y $H$ un subgrupo normal de $G$. Si tanto $H$ como $G/H$ son grupos solubles entonces $G$ es también un grupo soluble.
Sean $G$ un grupo de orden $48$ y $T$ un $2$-subgrupo de Sylow de $G$. Como $|G|$ no divide al factorial de $[G:T]$ entonces $T$ contiene un subgrupo $H$ de $G$ que es normal y no trivial. Del teorema de Lagrange se infiere a su vez que $|H| \in \{2,4,8,16\}$. Lo que haremos a continuación es mostrar que no importa cuál sea el orden de ese subgrupo normal $H$, las hipótesis del lema se cumplen y por lo tanto también se cumple la tesis del mismo (a saber, la solubilidad de $G$).
* Si $|H|=16$ entonces se tiene que tanto $H$ como $G/H$ son solubles pues tienen por órdenes a $16$ y $3$ respectivamente (y es sabido que los $p$-grupos finitos siempre son solubles).
* Si $|H|=8$ entonces $H$ es soluble pues es un $2$-grupo finito y $G/H$ es soluble pues $|G/H|=6$ y todo grupo de orden $6$ tiene un subgrupo normal de orden 3.
* Si $|H|=4$ entonces $H$ es soluble pues es un $2$-grupo finito y $G/H$ es soluble pues $|G/H|=12$ y todos los grupos de orden $12$ son solubles:
En efecto, sea $M$ un grupo de orden $12$. De uno de los incisos del teorema de Sylow se sigue que $n_{3}=1$ o $n_{2}=1$. Si $n_{3}=1$, denotemos con $H_{3}$ al único $3$-subgrupo de Sylow de $G$ y con $I_{2}$ a un subgrupo de $M$ de orden $2$ (cuya existencia está garantizada por el célebre teorema de Cauchy en grupos). Al ser $n_{3}=1$ se obtiene que $H_{3}$ es normal en $M$; esto implica a su vez que $H_{3}I_{2}$ es un subgrupo de $M$ de orden $6$ que contiene a $H_{3}$. La solubilidad de $M$ se concluye en este caso al notar que
$M \geq H_{3}I_{2} \geq H_{3} \geq \langle e \rangle$
es una serie normal de $M$ con grupos factores de orden primo.
Por otro lado, si $n_{2}=1$ denotemos con $H_{2}$ al único $2$-subgrupo de Sylow de $G$ y sea $I_{2}$ un subgrupo de $H_{2}$ de orden $2$. La solubilidad de $M$ se desprende en este caso del hecho que
$M \geq H_{2} \geq I_{2} \geq \langle e \rangle$
es una serie normal de $M$ con grupos factores de orden primo.
* Finalmente, si $|H|=2$ entonces $H$ es soluble pues es un $2$-grupo finito y $G/H$ es soluble pues $|G/H|=24$ y todos los grupos de orden $24$ son solubles:
En efecto, sean $M$ un grupo de orden $24$ y $S$ un $2$-subgrupo de Sylow de $M$. Nuevamente, puesto que $|M|$ no divide al factorial de $[M:S]$ se sigue que $S$ contiene un subgrupo $N$ de $M$ que es normal y no trivial.
Si $|N|=8$ entonces $|M/N|=3$: de esto se obtiene que tanto $N$ como $M/N$ son grupos solubles. La solubilidad de $M$ estaría garantizada entonces por el lema de arriba.
Si $|N|=4$, consideremos un subgrupo $I_{2}$ de orden $2$ de $N$ y un subgrupo $I_{3}$ de orden $3$ de $M$. De la normalidad de $N$ se sigue que $NI_{3}$ es un subgrupo de $M$ de orden $12$. Así,
$M \geq NI_{3} \geq N \geq I_{2} \geq \langle e \rangle$
es una serie normal de $M$ con grupos factores de orden primo: ergo, $M$ es soluble en este caso también.
Por último, supongamos que $|N|=2$. Puesto que tanto $N$ como $M/N$ (nótese que en este momento $|M/N|=12$) son solubles, el lema nos garantiza nuevamente la solubilidad de $M$.
Fin.
