Resuelve para 'z' la ecuación (en ℝ)

Question

Halla los valores de z∈ ℝ, que verifican la ecuación de valor absoluto:

|17z⁴-4z⁸| = 15

Comments

Je, je, je..no es mi tarea. Ubiqué aquí este ejercicio, por si lo consideraban muy sencillo. Muévanlo, si creen pertinente; saludos.

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Este ejercicio está muy sencillo. No así el de la terna (x,y,z) de enteros positivos, el cual es más interesante.

Answer 1

Si $z$ es solución de la ecuación dada entonces $17z^{4}-4z^{8}=15$ o $17z^{4}-4z^{8}=-15$. En el primer caso, haciendo la sustitución $x=z^{4}$ se obtiene la ecuación cuadrática $4x^{2}-17x+15=0$ cuyas soluciones son $x_{1}=5/4$ y $x_{2}=3.$ Estas soluciones devienen a su vez en cuatro soluciones reales de $17z^{4}-4z^{8}=15$; a saber, $z_{1}=\sqrt[4]{5/4}, z_{2}=-\sqrt[4]{5/4}, z_{3}=\sqrt[4]{3}$ y $z_{4}=-\sqrt[4]{3}$.

En el segundo caso, la sustitución $y=z^{4}$ da lugar a la ecuación $4y^{2}-17y-15=0$ cuyas soluciones son $y_{1}=-3/4$ y $y_{2}=5.$ En este caso, a partir de $y_{1}$ y $y_{2}$ se obtienen sólo dos soluciones reales de la ecuación $17z^{4}-4z^{8}=-15$; a saber, $z_{5}=\sqrt[4]{5}$ y $z_{6}=-\sqrt[4]{5}.$

En conclusión, el conjunto de números reales que verifican la ecuación propuesta es $\{\pm \sqrt[4]{5/4}, \pm \sqrt[4]{3}, \pm \sqrt[4]{5}\}$.

Comments

¡Bien, José! Esas son las soluciones reales. Gracias por su correcta ilustración.