Primero notemos unas cuantas consecuencias del hecho de que $u$ y $v$ satisfagan las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
(1) $\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2=\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2$ y $\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2=\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2$ (elevando al cuadrado las ecuaciones).
(2)$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$ y $\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}$ (tomando derivada parcial en ambos lados de una ecuación respecto de $x$, en la otra respecto de $y$ e "igualando");
(3) $\frac{\partial u}{\partial y}\cdot\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{\partial u}{\partial x}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}$ (multiplicando ambas ecuaciones lado por lado).
Ahora nos ponemos a calcular las derivadas parciales de $\phi(x,y)$ (toda una talacha, hay que usar regla de la cadena, regla del producto y demás):
$\frac{\partial\phi}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}(u,v)\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}(u,v)\frac{\partial v}{\partial x}$,
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} & = & \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(u,v)\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(u,v)\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial x}(u,v)\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \\
& & +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(u,v)\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2+\frac{\partial f}{\partial y}(u,v)\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}
\end{eqnarray*}
y de manera totalmente análoga,
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} & = & \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(u,v)\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2+2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(u,v)\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial x}(u,v)\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \\
& & +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(u,v)\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2+\frac{\partial f}{\partial y}(u,v)\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}.
\end{eqnarray*}
Ahora si sumamos las dos últimas ecuaciones, obtenemos del lado izquierdo la suma $\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}$, por lo que si demostramos que el lado derecho es cero, habremos terminado. Observemos, pues, lo que pasa en el lado derecho: El primer término de la primera ecuación, junto con el cuarto término de la segunda, nos dan (debido a la propiedad (1) mencionada arriba):
$\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(u,v)+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(u,v)\right)$ que es igual a cero debido a que $f$ satisface la ecuación de Laplace, y de manera totalmente análoga el cuarto término de la primera ecuación junto con el primer término de la segunda también dan cero. Ahora nótese que, debido a la propiedad (3) mencionada arriba, el segundo término de la primera ecuación no es más que el negativo del segundo término de la segunda, por lo que estos dos se cancelan. En este momento sólo nos sobreviven los términos tercero y quinto en ambas ecuaciones. Pero ahora, por la propiedad (2) mencionada al principio, los terceros términos de ambas ecuaciones se cancelan, y similarmente los quintos términos también se cancelan. Y tantán (cuadrito).
