(Respuesta larga, pero creo que te ayudara)
Hay tres cosas fundamentales que aprender al estudiar ecuaciones diferenciales (y por supuesto, estamos asumiendo que hablamos de ordinarias). Las menciono en orden inverso:
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Toda la maquinaria de geometria diferencial que permite estudiar ecuaciones en variedades.
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La teoria cualitativa de ecuaciones.
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Métodos de solución.
El último punto es el más importante, pues es el material básico. La mayoria de los cursos chafitas se quedan en eso, pero también hay una tendencia en cursos serios a no cubrir ese material bién. Para poder decir que entiendes ecuaciones y que no te vean feo, tienes que saber resolver ecuaciones lineales, homogeneas, separables, y exactas en la cabeza (exagero, pero espero se entienda mi postura).
Pero esos métodos de solución son facilitos; son solo recetas y se pueden aprender en horas con la motivación correcta. De hecho, en mis clases de ecuaciones, yo doy una lista de 100 ecuaciones el primer dia y les pido que las resuelvan como puedan. A las dos semanas, todo mundo se las apañó para resolver todo, no nos pasamos semanas en cada método (haciendoles sentir que esa es la parte complicada), y asi podemos dedicarnos desde el principio a la teoria mas seria, que es mi segundo punto.
Casi ninguna ecuación tiene solución expresable con una formula sencilla, pero todas (prácticamente) tienen solución. Cuando esto fue entendido, la gente empezó a estudiar problemas cualitativos, y es entonces que se inventó la Matemática moderna. No es exageración: Todo el trabajo geométrico de Poincare es para entender cómo se portan las soluciones, y mucho del Análisis moderno viene de entender cuándo hay soluciones, cuándo son únicas y cómo cambian.
Al final, uno puede comenzar a estudiar ecuaciones en variedades y entrarle a la teoria moderna que es muy rica y que conecta con todas las areas de las Matemáticas avanzadas. Ese fue mi primer punto, y no está tan canijo; es posible llegar a ese nivel en un segundo curso de ecuaciones.
Aqui viene mi propuesta: Para aprender a resolver ecuaciones, encierrate en un cuarto ventilado un fin de semana con el Schaum's. Ves un par de ejemplos de lineales y resuelves el resto. Ves un par de ejemplos de separables y resuelves el resto, etc. Si entiendes Cálculo, debes poder seguir la receta. Si no te gusta el Schaum's, usa otro libro basico. Yo he visto 5 formas diferentes de resolver ecuaciones lineales, y estudiantes que prefieren uno de esos metodos sobre los otros. Es cosa de gusto.
Para teoria cualitativa, usa el Hirsch, Smale, Devaney. Antes era el Smale-Hirsch, y estaba lleno de errores, lo cual era muy bueno para aprender a estudiar con cuidado. Ahora Devaney lo limpio y agrego secciones; algunas buenas, y otras no. Pero es el mejor libro que hay.
Al final, para meterte a un estudio mas profundo, no hay discusión. Compras el Arnold y lo usas de biblia de ecuaciones por el resto de tus dias.
