Función inyectiva:

Question

Si V es el conjunto de todas las funciones inyectivas de A en A (Suponiendo que A es infinito), y C(A) es el conjunto de todas las funciones de A en {0,1}:

¿Cómo podría encontrar una función inyectiva de C(A) en V?

O de ℘(A) en V?

Answer 1

Primero nota que tus dos preguntas son equivalentes. Esto es, la función $\chi:\wp(A)\longrightarrow C(A)$ que a cada  $B\subseteq A$ le asigna su función característica (esto es, para cada $a\in A$ tenemos que $\chi(B)(a)=1$ si y sólo si $a\in B$, y $\chi(B)(a)=0$ en otro caso) es una biyección, por lo que basta encontrar una función inyectiva de $C(A)$ en $V$ para (componiéndola con $\chi$) obtener una función inyectiva de $\wp(A)$ en $V$, y viceversa.

Ahora encontremos la función inyectiva de $C(A)$ en $V$. Para ello, usamos que $A$ es infinito y por lo tanto podemos "partirlo en dos mitades", es decir, hallar $A_0,A_1\subseteq A$ disjuntos tales que $A=A_0\cup A_1$ y $|A|=|A_0|=|A_1|$ (pues para cardinales infinitos $\kappa$, se cumple la regla de que $\kappa+\kappa=\max\{\kappa,\kappa\}=\kappa$). Sean $\varphi_i:A\longrightarrow A_i$ biyecciones para $i\in 2$. Entonces definimos la función $\psi:C(A)\longrightarrow V$ mediante $\psi(f)(a)=\varphi_{f(a)}(a)$. Checar que, para cada $f:A\longrightarrow\{0,1\}$, la función $\psi(f):A\longrightarrow A$ es una inyección es bastante rutinario, como también lo es el hecho de que $\psi$ es inyectiva (o, como quien dice, se le queda de ejercicio al lector, a menos que el lector repele y me pida más detalles ;) ).

Comments

Sí sé que son equivalentes, sólo lo decía por si era más fácIl verlo de un modo que de otro.

Gracias.

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En este caso pensar en funciones de $A$ en $2$ permite que la notación sea más directa :)