La respuesta a tu pregunta es: no, pero en cierto sentido sí. La razón es que, para cada $n$, la familia $\mathscr U_n=\{A\subseteq\mathbb N\big|n\in A\}$ es un filtro, y cualquier sucesión $\langle x_n\big|n\in\mathbb N\rangle$ converge exactamente a su n-ésimo término $x_n$ sobre el filtro $\mathscr U_n$. Sin embargo, como bien lo mencionas en relación a los puntos aislados, es bien posible que $x_n$ no sea un punto de condensación de la sucesión $\langle x_n\big|n\in\mathbb N\rangle$.
Sin embargo, es muy típico en estas situaciones restringirse a filtros "libres". Un filtro $\mathscr F$ se llama libre si tiene intersección vacía (equivalentemente, siempre que $F\subseteq\mathbb N$ es finito entonces $\mathbb N\setminus F\in\mathscr F$). No es muy difícil demostrar que los filtros libres contienen únicamente conjuntos infinitos.
El enunciado correcto, entonces, es: $x$ es un punto de condensación de $\langle x_n\big|n\in\mathbb N\rangle$ si y sólo si $\langle x_n\big|n\in\mathbb N\rangle$ converge a $x$ sobre algún filtro libre de $\mathbb N$. Una dirección es realmente fácil: si $x_n$ converge a $x$ sobre algún filtro libre $\mathscr F$, ello significa que (y aquí lo único que voy a hacer es repetir la definición) dado un $\varepsilon>0$ existe un $F\in\mathscr F$ tal que para todo $n\in F$, $|x_n-x|<\varepsilon$. Como $F$ es infinito, obtenemos que $x$ es un punto de acumulación de $x_n$.
La otra dirección tampoco es extremadamente difícil: si $x$ es un punto de condensación de $x_n$ entonces es posible encontrar una subsucesión $x_{n_k}$ que converge a $x$. Entonces, es cuestión de verificar (lo cual no es difícil) que la familia $\mathscr F=\{\{x_{n_k}\big|k\geq m\}\big|m\in\mathbb N\}$ es un filtro que converge a $x$.
