Número de topologías de un conjunto de $n$ elementos.

Question

¿Alguien sabe o conoce alguna referencia, o puede deducir si hay una fórmula para, dado un conjunto de $n$ elementos, obtener el número de topologías diferentes que se pueden definir?

Por ejemplo, si $n=1$, $NT=1$. Si $n=2$, $NT=4$. ¿Es la fórmula tan sencilla como $NT=n^2$?

Comments

Para n=3, NT=8 (ejercicio 2, sección 1, capítulo 3 del Dugundji). Cabe aclarar que las topologías son salvo isomorfismo, es decir "topologías diferentes".

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Algo he de haber hecho mal, a mí me salen muchas más...

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Pues no sé... Para n=3, hay 1 topología con 2 elementos (la indiscreta), 2 top. con 3 elementos, 1 top. con 4 elementos, 2 top. con 5 elementos, 1 top. con 6 elementos, 0 top. con 7 elementos y 1 top con 8 elementos (la discreta).

Por ejemplo, las 2 dos top. con 3 elementos son: aquella que tiene al vacío, a un subconjunto de tamaño 1 y al total; y aquella que tiene al vacío, a un subconjunto de tamaño 2 y al total.

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Ah, una disculpa, no me había dado cuenta que tu comentario era "salvo isomorfismo". Así sí son 8, claro.

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Mmmhhh... no me queda claro que sólo haya una topología con 4 elementos... según yo, son dos. Por que $T_1=\{\emptyset,\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\}\}$ y $T_2=\{\emptyset,\{3\},\{1,2\},\{1,2,3\}\}$ son ambas topologías y no son equivalentes vía isomorfismo.

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Tienes razón, Para n=3, NT es mayor o igual a 9... ¿Cuántas salieron? Yo creo que NT es de orden 2^n, pero habrá que investigar si se conoce o no.

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Se me hace que sí son 9.

Answer 1

En la fabulosa On-Line Encyclopedia of Integer Sequences puedes encontrar los primeros valores de las siguientes sucesiones:

• A000798(n): el número de topologías en un conjunto con $n$ elementos, o equivalentemente el número de pre-órdenes, es decir, relaciones reflexivas y transitivas. (Calculados para $0 \le n \le 18$.)
• A001930(n): el número de clases de homeomorfismo de espacios con $n$ puntos, o equivalemente el número de clases de isomorfismo de pre-órdenes. (Calculados para $0 \le n \le 16$.)
• A001035(n): el número de topologías $T_0$ en un conjunto de $n$ elementos, o equivalentemente el número de órdenes parciales. (Calculados para $0 \le n \le 18$.)
• A000112(n): clases de homeomorfismos de espacios $T_0$; clases de isomorfismo de órdenes parciales. (Calculados para $0 \le n \le 16$.)

(Por cierto, la equivalencia entre topologías y pre-órdenes es simple: dado un espacio topológico finito, para cada punto $x$ hay un abierto minimal que lo contiene $U_x$ (la intersección de todos los abiertos que contienen a $x$); al espacio $X$ le asociamos la relación $x \le y \iff U_x \subseteq U_y$ ordenados por inclusión. Si la topología es $T_0$ los $U_x$ son todos diferentes y la relación resultante es un orden parcial.)

No se conoce fórmula para ninguno de estos cuatro números y es improbable que haya fórmulas útiles para estos números. Hay más información sobre estos números y sobre cómo se calcularon los valores conocidos en las ligas a la OEIS.