Producto tensorial de dos módulos con uno de ellos libre

Question

Tengo esta duda  acerca de cuando el producto tensorial de dos módulos no es cero,  bueno si $E$ es libre de dimensión 1 sobre $R$ con base $\{v\}$, desde luego tenemos que  $E\otimes_RF \approx{F}$, lo cual no es cero si $F$ no es cero, ahora del ismorfismo anterior, lo que no entiendo es porque todo elemento de $E\otimes_RF$ puede ser escrito de manera única como $v\otimes{y}, \ y \in F$

Comments

Al final, tu $y \otimes v$ debería ser $v \otimes y$, pues hablas de $E \otimes_R F$ (y no de $F \otimes_R E$).

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Cierto, ya lo corregí.

Answer 1

Sea $\phi : F \to E \otimes_R F$ el morfismo de módulos dado por $\phi(y) = v \otimes y$; y sea $\psi : E \otimes_R F \to F$ tal que $\psi((rv) \otimes y) = ry$ --abajo veremos que $\psi$ está bien definido. Es claro que $\phi \circ \psi$ y $\psi \circ \phi$ son identidades, así que $\phi$ y $\psi$ dan un isomorfismo explícito entre $F$ y $E \otimes_R F$. Eso prueba que cualquier elemento de $E \otimes_R F$ se puede expresar de manera única como $\phi(y) = v \otimes y$.

Para constuir morfismos como $\psi$ cuyo dominio es un producto tensorial se puede dar el valor de $\psi$ en todos los "monomios tensoriales" $x \otimes y$, y siempre y cuando la expresión que demos para $\psi(x \otimes y)$ sea $R$-lineal en $x$ y en $y$ por separado, existe un único morfismo $\psi$ con ese valor en los monomios. (Esto se conoce como la propiedad universal del producto tensorial.) Como cualquier elemento de $E$ se expresa de manera única como $rv$, podemos declarar que $\psi((rv)\otimes y) = ry$; $ry$ es lineal en $r$ y en $y$ por separado, así que $\psi$ está bien definida.

Comments

El hecho de que la expresión sea única se debe a que dado $w\in{E\otimes_R F}$ entonces $\phi(a)=z$ (con $z=w$) para algún $a$ y como $\phi$ es un isomorfismo entonces $z$ es única.

Pero $z$ ya tiene una forma del tipo $v\otimes{y}$

Entonces de manera mas general tendriamos que si:
$E$ es libre con base $\{v_i\}_{i\in{I}}$ entonces todo elemento de $F\otimes_R E$ tiene una única expresión de la forma:
$\displaystyle\sum_{i\in{I}}{y_i}\otimes{v_i},$ $\ y_i\in{F}$

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Sí, yo lo diría así: como $\phi$ es un isomorfismo, es una biyección, así que dado $w$ existe una única $y$ con $\phi(y) = w$. La existencia es porque $\phi$ es suprayectiva, la unicidad (en caso de que exista) es porque $\phi$ es inyectiva.

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Sí, correcto. Si quisieras probarlo con el mismo estilo de argumento, usarías, $\phi : \bigoplus_{i \in I} F \to E \otimes_R F$ dada por $\phi((y_i)_{i \in I}) = \sum v_i \otimes y_i$ y $\psi : E \otimes_R F \to \bigoplus_{i \in I} F$ tal que $\psi ( \left( \sum r_i v_i \right) \otimes y ) = \sum v_i \otimes (r_i y)$.

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Sí solo que en la suma habría una cantidad finita de los $ \ y_i, v_i$. (En la que yo puse).
Gracias por el aporte ahora ya lo entendí bien.

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Sí, la suma debe ser finita. La manera usual de lidiar con eso, para simplificar la notación, es escribir sumas como $\sum_{i \in I} r_i y_i$, etc., donde sí hay un sumando para cada $i \in I$, pero con el entendido de que sólo un número finito de esos sumandos son distintos de $0$.

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Cierto, muchas gracias.