Question

Dado un grupo $G$ y si $S$ es un subgrupo de $G$ demuestre que el neutro de $G$ es elemento de $S$

Answer 1

Existe un elemento $e\in S$ tal que $se=es=s$ para toda $s\in S$. Sea $s$ un elemento en $S$ (por ejemplo $e$). Entonces $s=es$ y también $s=1s$, donde 1 es el neutro de $G$. Entonces $1s=es$ lo que implica que $1=1ss^{-1}=ess^{-1}=e1=e$.

Answer 2

Como $S$ es no vacío entonces considera algún $x \in S$. Al ser $S$ subgrupo de $G$ entonces $x^{-1}$ debe ser elemento de $S$ también. Tienes entonces que tanto $x$ como $x^{-1}$ están en $S$: así, al ser $S$ cerrado bajo el producto de $G$ (pues $S$ es subgrupo) debe cumplirse que $e_{\small{G}} =x\cdot x^{-1} \in S$.

Comments

El problema de tu prueba es asumes que el inverso en $S$ es el mismo que el inverso en $G$ y para probar que eso es cierto se usa el enunciado del problema (tomando como definición de subgrupo un subconjunto que es grupo bajo la restricción de la operación en $G$).

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No tiene tanto sentido que menciones que la prueba tiene un "problema": lo único que pasa es que estoy partiendo de una definición distinta a la que pones en paréntesis. Para algunos autores, un subconjunto no vacío $S$ del conjunto que subyace al grupo $(G,\ast)$ es un subgrupo si $s^{-1} \in S$ para cada $s\in S$ y para cada $s,t\in S$ se cumple que $s\ast t \in S$.

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Por eso lo puse entre paréntesis. Para mí esa es una caracterización que usa lo demostrado. Si ves a un grupo desde el punto de vista del álgebra universal, es decir, un conjunto con 3 operaciones $(G,1,\cdot^{-1}, \cdot)$ que cumple varias identidades, entonces un subrgurpo sería un subconjunto que es cerrado bajo todas las operaciones (incluyendo la operación 0-aria 1). Luego sería un resultado a parte (el que tú demuestras) que basta ser cerrado bajo las otras 2 operaciones.