Un baúl de problemas olvidado - Problema propuesto 4

Question

Problema. (H. Pasten) Denotemos con $\mathbf{P}$ al conjunto de los números primos positivos. ¿Existe una función polinomial cuadrática $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tal que $f[\mathbb{N}]\supseteq \mathbf{P}$? Con $f[\mathbb{N}]$ estamos denotando aquí la imagen directa de $\mathbb{N}$ bajo $f$.

Las soluciones que se reciban serán consideradas para ser incluidas en las próximas entregas de Un baúl de problemas olvidado. Pueden leer toda la historia en el siguiente enlace:

http://universo.math.org.mx/2014-3/baul-I/baul-I.html

Answer 1

Escribamos dicho polinomio como $f(x)=ax^{2}+bx+c$, donde $a>0$. Notamos que 

 

                  $\frac{\frac{1}{n^{2}}}{\frac{1}{f(n)}}=a+\frac{b}{n}+\frac{c}{n^{2}}$

 

De esto se ve que $\lim_{n\longrightarrow \infty }\frac{\frac{1}{n^{2}}}{\frac{1}{f(n)}}$ existe y es igual a $a$. Ya que la serie $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}$ es convergente, lo anterior implica que $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{f(n)}$ también lo es. 

 

Supongamos ahora que $P\subset f(\mathbb{N})$; entonces 

 

                  $\sum_{p\in P}\frac{1}{p}\leq \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{f(n)}$

 

Sin embargo, es bien conocido que $\sum_{p\in P}\frac{1}{p}=\infty $, así que la desigualdad anteior contradice que $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{f(n)}$ sea convergente. Concluimos que no existe tal polinomio que satisfaga lo pedido.

 

Comments

¡Excelente, Raúl Astudillo! Esa es precisamente la solución esperada...

Answer 2

Si $f$ es un polinomio (en una variable) de grado $k$, el número de valores que puede tomar entre 1 y $N$ es $O(N^{1/k})$, que para $k>1$ es menos que la cantidad de primos que hay por el teorema del número primo.

Comments

Esa es una manera, Omar... Quizás quieras pensar ahora en una solución en la cual no se tenga que apelar en absoluto al Teorema de los Números Primos.

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Creo que algo con congruencias podría funcionar. Saludos.

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por qué el número de valores que puede tomar el polinomio entre $1$ y $N$ es $O(N^{1/k})$?. Sí es cierto? El polinomio $x^2$ toma $N$ valores entre el $1$ y el $N$. para cualquier $N$.

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A ya entendí, olvidenlo, estaba pensando que se refería el numero de valores diferentes que toma la función restringida al dominio $[1,n]$ pero ya entendí que se refiere en el rango.