Un baúl de problemas olvidado - Problema propuesto 5

Question

Problema. (XXI IMC, D2P2) Sea $A=(a_{ij})_{i,j=1}^n$ una matriz simétrica de $n\times n$ con entradas reales y $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\ldots$, $\lambda_n$ sus eigenvalores. Muestra que

$$\sum_{1\leq i<j\leq n} a_{ii} a_{jj} \geq \sum_{1\leq i<j\leq n} \lambda_i\lambda_j$$

y determina todas las matrices para las cuales la igualdad se cumple.

Las soluciones que se reciban serán consideradas para ser incluidas en las próximas entregas de Un baúl de problemas olvidado. Pueden leer toda la historia en el siguiente enlace:

http://universo.math.org.mx/2014-3/baul-I/baul-I.html

Answer 1

Elevando la igualdad $\sum \lambda_i = \mathrm{tr} \; A = \sum a_{ii}$ al cuadrado vemos que la desigualdad pedida es equivalente a $\mathrm{tr}(A^2) = \sum \lambda_i^2 \ge \sum a_{ii}^2$. Esto es claro, pues por la simetría de $A$, $\mathrm{tr}(A^2) = \mathrm{tr}(AA^T) = \sum_{i,j} a_{ij}^2$. La igualdad se da si y sólo si $a_{ij}=0$ siempre que $i\neq j$, o sea, cuando $A$ es diagonal.