Triángulo isósceles inscrito-circunferencia con puntos de 2 colores

Question

Los puntos de una circunferencia se pintan arbitrariamente con dos colores. Pruébese que -necesariamente- existe algún triángulo isósceles inscrito en aquella circunferencia, cuyos vértices sean del mismo color.

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Un sencillo ejercicio. Fuente: Dpto. de Ciencias Matemáticas de la Academia Militar "West Point"  (EE. UU.)

Answer 1

Inscribimos un pentágono regular en la circunferencia. Debe tener tres vértices del mismo color, sin importar cuales sean forman un triángulo isosceles. Esto se debe a que sólo hay dos posibles distancias entre dos vértices de un pentágono regular.

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Saludos, Gamamal. Seguramente quiso decir: "Inscribimos un pentágono regular en la circunferencia".

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Sí, así es. Gracias por la observación.

Answer 2

Por contradicción: Sean $B$ y $C$ dos puntos negros (si no existen el problema es trivial).  Entonces $D$ y $E$ deben ser ambos verdes, pues de lo contrario $DBC$ o $BEC$ serían isosceles monocromáticos. Como $D$ y $E$ son verdes $F$ y $G$ deben ser negros, pues si no $DEF$ y $DEG$ son isosceles. Ahora, notemos que $H$ y $I$ deben ser verdes, pues de lo contrario $FBH$ y $GIC$ son isosceles monocromáticos. Ahora veamos que $HEI$ es un isosceles monocromático.

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Bien, @gamamal. Gracias, esperemos más soluciones..saludos!