Problema de Sucesiones

Question

Sea $\{x_n\}_n$ una sucesión de números reales. Si las subsucesiones $\{x_{2n}\}_n, \{x_{2n-1}\}_n$ y $\{x_{3n}\}_n$ son convergentes. Muestre que la sucesión $\{x_n\}_n$ es convergente.

 

Hola, algunas ideas para este ejercicio?

Comments

Los puntos de la tercera sucesión se alternan entre la primera y la segunda. Como las tres convergen entonces convergen al mismo punto.

Answer 1

Este libro aparece como ejercicio en el Libro (un «tienes que leer») Fundamentos de Análisis Moderno de Jean A. Dieudonné.

La sucesión $(x_{3(2n - 1)})_{n \in \mathbb{N}}$ es subsucesión común de $(x_{2n - 1})_{n \in \mathbb{N}}$ y $(x_{3n})_{n \in \mathbb{N}}$ por lo que estas últimas dos convergen al mismo límite. La sucesión $(x_{3(2n)})_{n \in \mathbb{N}}$ es subsucesión común de $(x_{2n})_{n \in \mathbb{N}}$ y $(x_{3n})_{n \in \mathbb{N}}$ por lo que estas últimas dos convergen al mismo límite; se puede, pues, reducir el análisis al caso de una sucesión $(x_n)$ tal que $(x_{2n})$ y $(x_{2n - 1})$ convergen al mismo límite, pero entonces es inmediato.

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Muchas Gracias Guillermo por la ayuda :). Bueno, en ese momento pude resolver el problema, era sólo para ver otros puntos de vista. Hace tiempo que no ingresaba a el irracional, ahora he vuelto. Saludos.