Problema de Análisis

Question

Sea $f: H\subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ una función continua y acotada, $H$ un conjunto conexo. Demuestre que si $k$ es un número real que verifica $\inf\{f(x): x\in H\}\le k \le \sup\{f(x): x\in H\}$, entonces existe $x_0\in H$, tal que $f(x_0)=k.$

 

Hola. Necesito si alguien me puede dar "algunas indicaciones" para este problema. Gracias :).

Comments

Las desigualdades tal vez deberian ser estrictas

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Ya que cambies lo de las desiguladades aqui te va una ayuda:
considera los conjuntos $f^{-1}(-\infty,k)$ y $f^{-1}(k,\infty)$.

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Hay que ver, tal vez como lemas previos, cómo son los conexos de la línea real y notar que las funciones continuas mandan conexos en conexos.

Answer 1

Como $f$ es continua y $H$ es conexo, $f(H)$ es conexo. Si no existiera $x \in H$ tal que $f(x) = k$ entonces define $A = f^{-1}(-\infty, k)$ y $B = f^{-1}(k, \infty)$ que son abiertos (por continuidad) ajenos, no vacíos (lo que se sigue de la definición de supremo e ínfimo, ¿puedes verlo?) y cuya unión es $H$, lo que contradice inmediatamente la conexión de $H$.

Deja en los comentarios si te queda claro o tus dudas.

Saludos