existe una función que cumpla estas propiedades?

Question

Hola, existe una función $f$ que tiene como dominio las parejas de reales $(x,y)$ con $x<y$ a los reales que cumple que $f(a,b)\leq f(c,d)$ si y solo si $a<f(c,d)$ y $f(a,b)<d$?

 

Este es el avance que llevo:

 

Tomando $a=c$ y $b=d$ llegamos a que $a<f(a,b)<b$.

 

Usando esto tomemos $(a,b)$ y tomemos $f(a,b)=z$. Ahora tomemos $x,y$ tal que $a<x<z<y<b$.

 

Podemos mostar que $f(x,y)\leq z$ pues $f(x,y)<y<b$ y $x<z$.

 

También podemos probar $f(x,y)\geq z$ pues $y>z$ y $f(x,y)>x>a$.

 

Entonces $f(x,y)=z$. Lo cual me hace creer que la funcion no existe, pero no he podido encontrar una contradiccion contundente.

Comments

Tienes un error al mero principio. Si $a<f(a,b)<b$ se tendría que $f(a,b)<f(a,b)$. Por lo tanto $f(a,b)\leq a$ o bien $b\leq f(a,b)$. Posiblemente querías intercambiar desigualdades estrictas con no estrictas.

---

A sí es cierto, pero el error lo hice en el enunciado afortunadamente y no en la solución, deja lo edito.

Answer 1

Para reales $a<b$ y entero $k$ considera el conjunto $(a,b)\cap\mathbb{Z}\cdot 2^k$. Es facil ver que existe un entero minimal tal que este conjunto consiste de un solo elemento. Definimos $g(a,b)$ como este entero y $f(a,b)$ como el unico punto de este conjunto.

Por definicion tenemos $a<f(a,b)<b$ y esto implica la direccion $\Rightarrow$ de la propiedad deseada para la funcion $f$.

Ahora supongamos que $a<f(c,d)<f(a,b)<d$. Esto implica 

$a<f(c,d)<f(a,b)<b$ y

$c<f(c,d)<f(a,b)<b$.

Si $k=\min\{g(c,d),g(a,b)\}$ entonces $f(c,d),f(a,b) \in (a,b)\cap(c,d)\cap\mathbb{Z}\cdot 2^k$ lo cual contradice la definicionde la funcion $g$. Por lo que concluimos que $a<f(c,d)$ y $f(a,b)<d$ implica $f(a,b)\leq f(c,d)$.