Módulo ciclico

Question

Como podría argumentar que el $\mathbb{Z}$-módulo $M=(\mathbb Z/p^n \mathbb {Z}) \times (\mathbb Z/p^m \mathbb {Z}), \ n,m \neq{0}$ no es cíclico.

Pensaba escribir que $M$ es un grupo abeliano y reciprocamente, y asi alegar que no tiene un elemento de orden $p^{m+n}$*, pero no queria meter conceptos de grupos y esas cosas, no se si pudiera haber otra forma, de ser así me podrían dar una sugerencia, gracias.

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Con "orden $m+n$" probablemente querías decir "orden $p^{m+n}$", ¿no?

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Si, por supuesto porque el grupo tiene $p^{m+n}$ elementos, es que lo puse en la madrugada.

Answer 1

Supongamos sin pérdida de generalidad que $m \le n$. Si $M$ fuera cíclico estaría generado por un solo elemento, digamos $(x,y)$. Como $p^n (x,y) = (p^n x, p^n y) = (0,0)$, $M = \mathbb{Z} (x,y)$ contiene a lo más $p^n$ elementos, pero de hecho $M$ tiene $p^{m+n}$ elementos, lo cual es una contradicción.

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Gracias, muy bien