¿Es este número de Liouville?

Question

Esta pregunta me llegó hace poco durante el MCA 2013 en Guanajuato y no he podido responderla.

¿ Es 0.12345678910111213141516171819202122232425262728293031...

un número de Liouville ?

(Referencia para números de Liouville: http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number)

Comments

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Por si acaso, el número este se conoce como constante de Champernowne.

Answer 1

No es de Liouville, eso lo probó Kurt Mahler en 1937, en Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen, Proc. Konin. Neder. Akad. Wet. Ser. A. 40 (1937), p. 421–428. El teorema principal de ese artículo dice que si $p(x)$ es un polinomio no constante con valores enteros positivos para $x = 1, 2, \ldots$, entonces el número $0.p(1)p(2)\ldots$ formado concatenando las representaciones en base 10 (bueno, el teorema es cierto para cualquier base, claro) de los valores de $p$, es siempre trascendente y nunca de Liouville.

(No sé leer alemán, esto que dije acerca del contenido del artículo de Mahler lo leí en la introducción de este otro artículo: Stoneham, R. "A General Arithmetic Construction of Transcendental Non-Liouville Normal Numbers from Rational Functions." Acta Arith. 16, 239-253, 1970.)