Son las doce, así que espero no estar cometiendo algún error.
Primero, como el conjunto dado en (b) es un subconjunto del dado en (a) si probamos el segundo inciso también habremos demostrado el primero.
Notemos que $ 10^s\phi $ recorre el punto decimal $ s $ lugares a la derecha y al restar la parte entera obtenemos el irracional que queda después del punto decimal. En otras palabras, los números del conjunto dado son aquellos irracionales obtenidos de poner el punto en algún nuevo lugar de $ \phi $ y considerar lo que queda a la derecha de él.
Sea $ \alpha = .0...0a_1...a_m...\in (0, 1) $ algun número cualquiera, donde la cadena de ceros al principio tiene $k$ elementos y $ a_1 \neq 0 $. Sea $ M = 10...0a_1...a_m $ (con $ k $ ceros) y consideremos $ s $ la potencia necesaria tal que
$10^s\phi - [10^s\phi] = 0.0...0a_1...a_m...$,
Tal s existirá pues sólo es necesario reccorrer el punto decimal de $\phi = 0.123...(M -1)10...0a_1...a_m...$ suficientes veces a la derecha (tantas como cifras tienen al concatenarse el número $123...(M-1)1$.) Por lo tanto,
$|10^s\phi - [10^s\phi] - 0.0...0a_1...a_m...|$,
es un número que contiene al incio $k + m$ ceros y por lo tanto es menor o igual que $\dfrac{1}{10^{m + k}}$ (la igualdad se da si todo lo que queda después de los ceros son puros nueves). Como $m$ puede ser tan grande como deseemos hemos demostrado que cerca de cualquier número dado $\alpha$ existe un elemento del conjunto tan cerca como queramos.
Por lo tanto la cerradura del conjunto en (0, 1) es todo (0, 1). Esto también implica que 0 y 1 están en la cerradura pues dado un $\epsilon > 0$ podemos considerar un elemento del conjunto dado a distancia menor a $\dfrac{\epsilon}{2}$ de $\dfrac{\epsilon}{2}$ o $1 - \dfrac{\epsilon}{2}$ el cual estará, por lo tanto, a distancia a lo más epsilon de 0 o 1, respectivamente.
Con esto concluimos que la cerradura del conjunto en (b), y por tanto en (a), es [0, 1].
