Un baúl de problemas olvidado - Problema propuesto 7

Question

Problema. Hallar todas las funciones diferenciables $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen

$\displaystyle f^{\prime}\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{f(y)-f(x)}{y-x}$

para cada $(x,y) \in \mathbb{R}^{2}$.

* Las soluciones que se reciban serán consideradas para ser incluidas en las próximas entregas del artículo Un baúl de problemas olvidado. Pueden leer la más reciente entrega de este trabajo en el siguiente enlace:

http://universo.math.org.mx/2015-1/Baul-II/baul-II.html

Answer 1

El lado derecho es el valor promedio de $f'$ en el intervalo $[x,y]$: $\frac{1}{y-x} \int_x^y f'(t) \; dt = \frac{f(y)-f(x)}{y-x}$. Entonces la igualdad dice que en cualquier intervalo, el valor promedio de $f'$ es el valor que toma en el centro del intervalo. Es bien conocido que esto es equivalente a que $f'$ sea una función armónica. Las funciones armónicas de una variable son los polinomios de grado a lo más uno (pues la ecuación de Laplace dice simplemente $g''(x)=0$), así que concluímos que $f$ debe ser un polinomio de grado a lo más dos.

Por otra parte, es fácil ver que cualquier polinomio de grado a lo más dos satisface la ecuación dada: claramente $1$, $x$ y $x^2$ lo cumplen y ambos lados son funciones lineales de $f$.

Otra demostración (para los que prefieran hacer cuentas a citar teoremas). La ecuación dice que $D f = \frac{1}{2h}(E^h - E^{-h})f$, donde $D$ y $E$ son operadores dados por $(Df)(x) = f'(x)$ y $(E^hf)(x) = f(x+h)$ (de modo que $E^a E^b = E^{a+b}$). Entonces $D^3 f = \frac{1}{8h^3}(E^h-E^{-h})^3 f = \frac{1}{8h^3}(E^{3h}-3E^h+3E^{-h}-E^{-3h})f =$ $ \frac{1}{8h^3}((E^{3h}-E^{-3h})f - 3(E^h-E^{-h})f) = \frac{1}{8h^3}(6hDf - 6hDf) = 0$. Entonces $f'''(x)=0$ y $f$ es un polinomio de grado a lo más $2$.

Comments

Tengo que confesar que la equivalencia entre "armonicidad" y "la propiedad del valor medio" sólo la conocía para funciones continuas $u: U \to \mathbb{R}$ donde $U$ es un subconjunto abierto del plano complejo.

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Pues la equivalencia se vale para funciones continuas $U \to \mathbb{R}$ donde $U$ es un abierto en $\mathbb{R}^n$ (e incluso, se puede debilitar la hipótesis de continuidad). Nótese que aquí se la aplicamos a $f'$ que, como $f'(x) = \frac{f(x+1)-f(x-1)}{2}$, es incluso diferenciable. También, yo diría que el caso $n=1$, es más simple que el caso $n=2$ que mencionaste. :)

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Omar, muy bien...