Sea $ABC$ el triángulo en cuestión y denotemos por $X, Y$ a los puntos de intersección del excírculo opuesto a $A$ con los ladoos $AB$ y $AC$ . También denotemos por $A_C$ y $A_B$ a las prolongaciones dichas en el problema desde el vértice $A$ (prolongaciones por $A$) sobre los lados $AC$ y $AB$, respectivamente. Finalmente sea $M$ el punto medio de $A_CA_B$.
Como $A_CAA_B$ es isósceles, por hipótesis, entonces la recta $MA$ es mediatriz de $A_CA_B$ y por tanto también es bisectriz de $\angle A_CAA_B$. Haciendo el mismo proceso con los vértices $B$ y $C$ obtenemos que las mediatrices de los segmentos $A_CA_B, B_A B_C, C_AC_B$ (donde los otros puntos se definen de manera análoga que $A_B, A_C$) son las bisectrices del triángulo y por lo tanto se intersectan en el incentro $I$.
Por otra parte, $B_CC = A_CC = a + b$, donde $a, b, c$ son las longitudes de los lados del triángulo, por lo que $CA_CB_C$ también es isósceles. Como $CI$ es bisectriz del $\angle ACB = \angle A_CCB_C $ tenemos que $CI\perp A_CB_C$ y por lo tanto es su mediatriz (por ser isóscelees).
Repitiendo lo dicho en el último párrafo con los otros vértices hemos demostrado que las mediatrices de $A_CB_C, A_BC_B$ y $B_AB_C$ se intersectan también en el incentro. Por lo tanto, las mediatrices de los seis lados del hexágono $ A_BA_CB_CB_AC_AC_B $ se intersectan en el incentro y por lo tanto los seis puntos son cíclicos.
Pra obtener la longitud del inradio considera la proyección $A'$ del incentro $I$ en la recta $BC$. Con el se forma el triángulo rectángulo $IA'B_C$ con $B_CC_B = a + b + c$ y $IA' = r$, donde $r$ es el inradio. Como $I$ es el centro de la circunferencia por los $6$ puntos dados, entonces $A'$ es punto medio de $B_CC_B$ pues cae ortogonalmente sobre ella, de donde $A'B_C = s$, con $s$ el semiperímetro del triángulo. Por el teorema de pitágoras entonces el radio cumple $IB_C = \sqrt{r^2 + s^2}$.
Como conclusión, el centro de tal circunferencia es el incentro de $ABC$ y su radio es $\sqrt{r^2 + s^2}$.
