Un baúl de problemas olvidado - Problema propuesto 10

Question

Problema. (Selectivo B IMC, UNAM, 2015) Se tiene un cuerpo convexo $F$ en $\mathbb{R}^{3}$. Al proyectar $F$ a cualquiera de los planos $xy$, $yz$ o $zx$, se obtiene un cuadrado de lado $1$.
a) ¿Se puede concluir que $F$ es un cubo?
b) ¿Se puede concluir que $F$ contiene un cuadrado de lado $1$?

* Las soluciones que se reciban serán consideradas para ser incluidas en las próximas entregas del artículo Un baúl de problemas olvidado. Pueden leer la más reciente entrega de este trabajo en el siguiente enlace:

http://universo.math.org.mx/2015-1/Baul-II/baul-II.html

Answer 1

a) No. Considérese el cubo $\{(x,y,z)|0\leq x,y,x\leq1\}$. Quitándole el origen a dicho conjunto, nos queda un cubo sin una esquina, que sigue siendo convexo, y cuyas proyecciones a los planos $xy$, $xz$ y $yz$ son cuadrados de lado 1.Otro ejemplo interesante es el mismo cubo quitándole seis aristas, dos por orientación, cuidando que las proyecciones sigan siendo cuadrados de lado 1.

b) Ni idea aún :P

Comments

Tecnicamente es correcto pero me parece un poquito trampa. Que pasa si suponemos que $F$ es cerrado?

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Sí, es algo tramposo... Puedes quitar tetraedros del cubo a partir del origen: Por ejemplo, el conjunto $\{(x,y,z)|x+y+z\geq1, 0\leq x,y,z\leq1\}$ es cerrado, y todas las proyecciones deseadas son cuadrados de lado 1.

Answer 2

El tetraedro regular con vértices (0,0,0), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) cumple que sus proyecciones a los tres planos coordenados son cuadrados de lado 1 pero no contiene cuadrados de lado 1: la distancia máxima entre cualquesquiera dos puntos del tetraedro es $\sqrt{2}$ y esa distancia solo ocurre en las artistas del tetraedro; no hay dos artistas coplanares, pero un cuadrado de lado 1 tiene dos segmentos coplanares de longitud $\sqrt{2}$, a saber, las diagonales.

Comments

Independientemente de que no he analizado al tetraedro que propones, la distancia entre cada vértice y el origen es precisamente $\sqrt{2}$, así que tu último argumento no funciona.

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Tienes razón, no se que estaba pensando. El tetraedro sí funciona, pero ese argumento esta mal. En seguida lo corrijo.

Answer 3

Para la parte a), consideremos el siguiente contraejemplo:

 

Sea F el cuerpo convexo en el espacio R³ que fue construìdo cogiendo un cubo de arista 1 y vèrtices (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), etc, (junto con el interior del cubo) y quitàndole a este cubo una cuña en el origen (para ser màs claros, un tetraedro) cuyos vèrtices estèn ubicados de la forma siguiente: uno de ellos sea el origen, y los otros estèn estrictamente entre (0,0,0) e e_i para i=1,2,3, los vectores canònicos de R³. Las proyecciones en XY, YZ y XZ son cuadrados de lado 1.

 

Disculpen la falta de maejo de latex, soy nuevo en "el irracional" y no sè còmo introducir còdigo latex.

 

Voy a pensar la parte b).